今回、「sin,cos,tanなんか知らないよ」みたいに三角比を知らない人にも分かるように説明していきたいです。
さっきに言っておきますが、専門家ではないので間違ってる部分もあるかもしれません。
まず図を見てください。この図は単位円上に正方形と正八角形が内接してます。
正八角形の一辺の長さをｌとします。このとき、円周は正八角形の周よりも大きいので
2π＞8ｌとなります。
よって
2π＞8ｌ＞3.05・2
2π＞8ｌ＞6.1
を証明をすればよい
AC＾2＝AO＾2＋CO＾2
＝1＋1
よって
AC＝√2
ADはACの半分なので
AD＝√2/2
三角形AODは二等辺三角形なので、AD＝OD
よって
OD＝√2/2
BDはOBからODを引いたもなので
BD＝1－√2/2
三角形ABDは直角三角形なので三平方の定理で
AB＾2＝AD＾2＋BD＾2
＝(√2/2)＾2＋(1－√2/2)＾2
＝2－√2
よって
AB＝√(2－√2)
ｌ＝ABなので
8ｌ＝8√(2－√2)
なので
2π＞8ｌ＞6.1
2π＞8√(2－√2)＞6.1
が成り立てばよい
ところで√2＝1.1414...
なので
√2＞1.4
よって
2π＞8√(2－1.4)＞８√(2－√2)＞6.1
2π＞8√3/5＞8√(2－√2)＞6.1
二乗し
4π＾2＞64・3/5＞64(2－√2)＞37.21
4π＾2＞38.4＞64(2－√2)＞37.21
従って円周率は3.05より大きい