数学が好きなサラリーマンのブログ -2ページ目

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05Dec
- １＋１＝？
  前回、「世の中、数学みたいになんでも１＋１＝２とはいかないんですよ」というところには明確な見解をださずに終えてしまったので、そこに今回は言及したい。この種の批判や例示は枚挙に暇がないほどによく耳にする。つい先日、同僚もこの表現を現実問題と机上の問題の比較材料として使っていた。同僚はけして愚かではないが、数学をそういった具合に捉えているのであれば、ことこの発言に関しては愚かだ。よく知られるところの自然数の演算についての言及ならばペアノの公理が示すように正しいが、そもそも一般には数学において演算は定義されるものであって、語弊を恐れずに言うならば定義のないところに始原的にあるような概念ではない。簡単に言えば、そうなるようにしたもの、である。大学数学における代数学では、ある集合があって、そこで演算を定義し、その特徴から群・環・体と分けられ議論が発展していく。数学はなんでも１＋１＝２とはしていない。同僚に話を戻すと、チームが結束すれば一人一人の能力が組合わされて、１＋１の答えは２以上３にも４にもなる、といった具合だった。このとき、１＋１＝★とする。この★が★≧２ということである。ここで、両辺が何を示すのかを考えてみたい。一人一人の能力が組合わされて、というので左辺の１は一人の能力を表すと考えていいのだろう。１＋１は、あなたとわたしの能力は等しく二人が協力すれば、と解釈できる。すると能力の和というものをどう定義すればよいのかという話になる。ここで、イコールとはもちろん等しいという意味なので、等しいものが２だったり３だったりすると、三段論法で２＝３が成り立ってしまうので、条件によって数値が変わると考えるべきだろう。たとえば、二人が完全に同じ知識しか持っていなくて、とある歴史クイズに答える、といったような条件下では、１＋１＝１である。異なる条件の元でこの値は変遷する。数学における重要な姿勢のひとつとして物事を分析するという行為がある。ただ単純に１＋１＝２が成り立つ、成り立たないという議論ではなく、どのように定義された演算がどういう条件下のもとでどのように成り立つのか、それがどのようなことを生み出すのか。それが数学における対象である（上の例は随分と貧相ではあるが）。またときとして、分析の対義語である総合するという観点も当然ありうる。随分と浅いレベルで数学を批判されると趣味として扱う者にとっては悲しい限りだ。数学に限らず、趣味を持つもののある種宿命的なところもあるのかもしれないが、自分がそういった批判をしないための戒めとしてここに見解を記す。
25Nov
- 答のない世界
  「数学には必ず答がありますよね。現実は数学のように答がないこともあるんですよ」とか「世の中、数学みたいになんでも１＋１＝２とはいかないんですよ」などと数学を批判的に言われることがある。単なる推察で恐縮だが、個人的な感覚でいうと発言主は数学が苦手な方であることが多い気がする。数学好きを公言している立場として、ここで少し反論をしておきたい。主に哲学的な質問の範囲において、その答えがコンセンサスを得たものとして明確でないものが多い。哲学と大上段に構えなくとも、「ビジネスで成功する方法」とか「気になるあのこの口説き方」とかいったものに一般に正解はない。一方で、「今の総理大臣は誰か」とか「今日あなたが食べた朝御飯は何か」と言った答は当然存在する。仮にあなたが総理大臣を知らなかったとしても、朝御飯を食べていなかったとしても答が存在することには影響しない。ここで、「今の総理大臣は誰か」ということを少し掘り下げて考えてみる。ここで、この問に答があるとしている根拠は、憲法に従い、国会の議決で総理大臣として指名された人物が総理大臣であるという、その定義にある。総理大臣を操ることができる事実上の総理大臣、と定義を変えると、途端に答は変化してしまう。それは、安部首相が内実ともに首相であろうが、あなたがその真の姿を知っていなかろうが関係はなく、答の意味するところは変容する。つまり、質問の答というのはそこに出てくる言葉の定義の共通理解を前提になされるものである。数学では、ユークリッド原論以来この姿勢にたいしてストイックである。皆が共通で理解しうる当然のことを最小限の形で公理として認め(非ユークリッド幾何は更に公理を減らしている)、そこを起点にあらゆる論述を論理的に説明する、現代数学においても当然とされる展開を徹底している。胡散臭い、統計と称した似非数学のように、場当たり的な標本空間から得られたものを主張の根拠とはできない世界なのである。数学を用いて、幸せとはなにかということに答はだせない。数学にいくら没頭している人でも、このことを認めない人はいないはずだ。しかし、感情には原因が必ず伴うことを前提に、個々の事象は議論ができることがある。好きな子にフラれたから辛いし、ボーナスがでたから嬉しいのである。そんなことは数学を学ばなくてもわかるといわれそうだが、これらはもちろん平易な例である。食べたら太る、ということから導けるのは、太っていないのならば食べていないということだ。食べなかったら太らない、は論理的な事実ではない。現に、食べなくても直接脂肪を注入すれば太る。ある人がとある職業の人に殴られたとする。その選択肢が、銀行員、優しそうな銀行員、痩せた銀行員、人相の悪い銀行員である場合、犯人である可能性が高いのはどれだろうか。形容詞はすべて条件であるから、条件付きでない銀行員が一番可能性が高い。優しそうであっても、痩せていても、人相が悪くてもそれは条件として、銀行員の一部を示すものであるために確率の値は下がる。答がだせるものに正しい答をだす行為は、答があるものとないものをより正確に見分ける訓練になるし、答がないものに対しても自分なりの考えを導くアプローチとしてヒントになるはずである。逆に言えば、明快な答があるものにさえ答が出せない人に、質問に対する答がないことをどう判断できるだろうか。そして、答がないものにどうやって見解が組み立てられるだろうか。過去に多くの哲学者が同時に数学者であったことは偶然ではないはずだ。1+1=2については、また別の機会に。
18Nov
- 帰納すること
  　僕が高校生のころ、数学的帰納法とはドミノ崩しのようなもので、まず最初のドミノが倒れることを確認し、ある場所が倒れれば次のところが倒れる、いわば装置的なところの確認ができれば、すべてのドミノが倒れることの証明ができる、そんな証明法のことだと習った記憶がある。　今改めて考えてみても、この例えは的を射ている。しかし、この証明法への名付け親的なところへの配慮を考えると、これだけだと少々いただけないし、数学の生活への活用を考えるのならば勿体無いとさえ感じる。　「帰納」とはなにか。wikipediaでは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと、とある。　例えば、とある国に旅行したときに青いポストを見たとする。1つ見ただけでこの国のポストは青いなんて一般論を振りかざすには当然論理的隔たりがある。どうすればこの国のポストは青いと言えるだろうか。一つの方法として、国中のポストをすべて確認して回ればよい。国中を練り歩き、すべてのポストが青いことを確認した後ならば、この国のポストは青いと言える。　しかし、国土面積にもよるが、すべてのポストを確認することは現実的ではないし、そもそも論理的推論になっていない。実地的確論になってしまう。この作業に代替することを検討する必要がある。国のポストを所管するところに行き、ポストを青くするというルールを確認したり、国民にアンケートをとって、青いポスト以外を見たことがあるのかをきけばよい。　数学的帰納法では、この一般論を得る方法をポストを国土中効率的調べることで実現している。冒頭のドミノの例のように、一般には連続する2項の関係を用いた装置を用いて、すべての数字で確認する作業を自動化し、１つずつ代入して確かめていく行為を代替してすべての自然数での成立を示している。　ここで、別に帰納法をわかりやすく説明したいわけではない。装置を用いて、自動化している枠組みは、むしろ演繹法ではないかという指摘をしたいわけでもない（演繹は帰納の対義語）。　一般生活において、この個別的・特殊的な事例とは、我々の経験のようなものだ。この経験を糧に、人生の教訓や指南を導き出し、後世の人々に伝えたがる。もっとフランクに言えば、先輩や上司が、飲みの席や説教を受けるときに聞かされるような話だ。　　ただのそのひとの経験に基づく方法論や精神論は、端的に言えば意味が無い。なにせひどい時にはたった一度の経験で、帰納して一般則を導いてしまう。一度の経験で推察される一般則を誰にでも当てはめるためには相応の装置（論理）が必要である。　　　世の中には、そんな誤った推論が蔓延しているようにみえる。人生の成功の仕方、魅力的な女性の口説き方、大金の稼ぎ方。語る人のストーリーが秀逸であれば、ついその編み出された一般則が真実のように聞こえてしまう。しかし、よくよく考えて欲しい。なぜ、その人のいう規則が成立するのかということを。ただただ、その人が長い人生を賭けて経験的に会得した一般則ならば、あなたの役割はそれを論理的に紐解くことだ。世の中には、白いカラスだって存在するのである。
04Nov
- 解けるのか、解きたくないのか
  またもや抽象的なテーマになるが、問題を解くことについて僕なりに述べてみたい。問題を解くという行為は、鮮やかに解くということと、泥臭く解くという観点で分けることができる。一般に鮮やかに解くとは、出題者の意図の通りに解けたときとか、正当に至るまでの経路が短いときのことをいい、泥臭く解くとは、出題者が想定する解法より冗長であったり、ある程度計算量が必要となってしまった場合をいうのだろう。例えば二次方程式を解くとき、因数分解に気付けた場合、鮮やかに解けたとなり、解の公式を用いた場合、泥臭く解いた、となる。いずれも「解く」いう点には変わりがなく、スタイルの違いがその形容される語句を分けている。また、多くの人が鮮やかに解けることを期待する一方で、他に選択肢がないような仕方のない局面で泥臭く解を導く。この泥臭さはときに誤認を生んでいる。本能的に拒絶反応を起こしてしまうのか、泥臭く解く術を知っているのに、「解けない」と判断してしまう。厄介なのは、これを指摘しても、「その解法には気付かなかった」と思ってしまうことだ。泥臭い解法は、その手法があることに気付くこと自体はそんなに難しくないことが多い。例題として、下掲の図において塗られた部分の面積を考えてもらいたい。一辺が１の正方形が半径１の扇形が４つ重なることで表されていて、その共通部分の面積である。中学数学が好きな方々や文系の方々は、初等幾何を駆使して挑戦したことと察する。解答に辿り着けなかった方も割にいるのではないだろうか。どこかに効果的な補助線を引くことで、鮮やかに解けるのではないだろうかと模索し、あれやこれやとやってみる。なんだかんだこういったことを考える時間が楽しいことは事実である。理系の方で、この問題を解けなかった方に言いたい。あなたはこの図を座標平面上に置き、積分してみることを考えただろうか。今では、多岐にわたる目的の有益な手段として積分は行われるが、そのもっとも原始的な目的の一つが面積であることは周知の事実である。面積とは、単位正方形がその図の中にいくつ入っているのかを示したものである。単純な形においては、初等幾何を用いてそれを計算することが可能なのだが、曲線を含むようなマス目を数え上げることが極めて困難なものにおいては同様の行為が難しくなる。そこでかつての数学者たちは、区分求積というギリギリあてはまるマス目からの極限として積分法を使うことに辿り着いた。この辺の話は理系であれば基本的には知っているべきで、この問題が教科書の積分を習う章の発展問題あたりにあれば、面倒な問題だな、と思いつつも素直に解けるはずである。おそらく使えなかった理由は、波動拳をゴキブリに使ってしまうようなもったいなさか、積分を使うと複雑になってしまうという予測とかが意識的な背景としてはあって、よもや別単元の手法を用いるとは、といったところだろうか。つまり、積分を知っているのにこの問題が解けないのは、問題をみたときの初見の印象から初等幾何の問題と判断し、初等幾何の道具のみを使って解こうとしたことにある。基本的に、問題を出す側の、試験問題であればその試験の背景事情以外に自分が知っている知識を制限する理由はない。むしろ、折角有益な道具を知っているのに使わずに、結果解けないのは勿体無いというのを通り過ぎて、情けない気がする。部屋にゴキブリが出たときに、全力で対処する心意気が大切だと思うのである。ちなみに、初等幾何の知識だけでも勿論解ける。解答は後日HPにて公開予定。
19Oct
- オイラーの公式と数学の美しさについて（そして少しだけ英語）
  数学は美しいというひとがいる。僕が大学院生だった頃にも、院生仲間にそう呟く奴がいた。感受性の問題だから嘯いているのだろうとか勘ぐることはしないが、僕の学生時代には映画にもなった小川洋子著「博士の愛した数式」とか吉田武著「オイラーの贈り物」といった本がそういった感性に気付く牽引役を担っていたように思う。別にそういった向きを批判しようと思っているわけではない。むしろ逆である。拙著にも書いているが、数学が趣味としての位置をもう少し昇華させて、オシャレ感がでればいいなと思っているほどだ。数学が美しいと形容される例として頻出なのが、上記に挙げた本にも登場するオイラーの公式にπを代入した式（ときにオイラーの等式と呼ばれる）exp(iπ)=-1である。ここでexp(☆)はe^(☆)(eの☆乗の意味)を表す。なぜこの式が美しいのかという感受性を愚かにも説明すると、ネイピア数eと円周率π、虚数iという出処がそれぞれ異なる特別な値たちがオイラーの等式の元でとても簡素な式で関係を持つ故ということになるだろう。他の美しいとよばれる数学的事柄についても、その多くが一見煩雑なもの、或いは無縁と思われる物事の関係を、簡潔、シンプル、明瞭にあらわすことに成功したものがそう呼ばれているように思われる。でもここで僕が警鐘を鳴らしたいのは、「安易に美しいと思うことなかれ」ということだ。繰り返すが美しいと思うことは感受性の話なので思うな、ということがそもそもおかしいのだが、美しいと思いたいという願望からそういう感情を作り出しているのならばそれは控えよということである。数学に興味をもつきっかけとしていいのではないかという声が聞こえてきそうだが、そんなことはない。美しいと思いたいと思っている時点でそれは達成しているわけで、ポイントは更なる奥地へ進みたいかどうかというところにある。美しいなどと嘯いて腕を組んでいるうちは、数学道においては停滞に他ならない。オイラーの公式や等式だって十分に奥地の美しさだと思うかもしれないが、このような有名な公式をその示されるまでの道程を飛び越えて目の当たりにすることは十分にあって、そういった状況で美しいと呟くことこそが嘯いていると思うのである。逆に、着実に歩を進めた果てに感じる美しさは更なる数学欲を駆り立てる気がする。その経験を多くの人が持てば、数学を主とする人の裾野は広がると思っているし、それがこのブログを書いている理由でもある。山頂から撮られた写真を見て思う美しさと、誰かが開拓した登山道だとしても、麓から一歩ずつ進んだ後にたどり着いた山頂で自らの眼で見る風景を前に感じる美しさの関係に似ている。余談だが、英語において「僕は嬉しい」というときはI'm pleased.であって、能動態にすればSomething please me.である。受動と能動の関係が日英で逆なことは有名な事実だが、感情はもつのではなく、なにかが原因で持たされるもの、という点において英語の解釈は正しいように思う。
14Oct
- 数学ウェブサイト開設！
  愉しめる趣味としての数学をより一層広める拠点として、ウェブサイトを立ち上げてみた。コンテンツが不足している点はこれから充足させていく予定なので今のところは容赦いただきたい。このブログだって見てくれている人はまだまだ少ないが、このサイトで多くの人が気軽に数学を愉しむ場を提供できればと考えている。数学が世の中の何に役立つのか、ということを時々聞かれる。その度に思うことがある。個別具体的にここで列挙せずとも、検索してみれば色んな業界において数学が用いられていることがわかるし、抽象的なところではどんなビジネスにだって潜んでいる。ゆえにこの質問が修辞疑問文的な意味合いだったとしてもそれは容易かつ明確に否定されるわけだが、そもそもその質問の姿勢が不憫だ。知識とは武器である。いつしかのブログでも書いたが、持っていれば効力が自然発生するものではないはずだ。その一例として数学があり、その心得がある人は、自ずからその活用方法を見いだすべきだと思う。或いはある局面において、眼前の問題の対処として選択されるべきものと考えている。しかし、その為に多くの武器を収集しようと色んな分野に手をだすことを否定はしないが、好きこそものの上手なれというか、知識を習得すること自体を楽しめるに越したことはない。そして、数学は楽しいものである。そのことをできるだけ多くの人と共有できたら、と思う。誰しもが共感できるものではないことは百も承知だが、一部の人がそうだとして、自分が数学を楽しめるタイプだと気づけていない人がいれば、とてももったいないと思うし、そういった人に目覚めてほしい想いで僕はネットで数学活動をしている。学校数学で数学に嫌なイメージをもつ人も、もう一度成績とかの柵がない中で改めて向き合ってもらいたい。今回、神様か誰かが造った完璧な秩序のある世界で、思考ゲームに浸る魅力に気付くかもしれない。
03Oct
- フィボナッチ数列の汚い部分
  フィボナッチ数列は美しい、と聞いたことがある人も多いだろう。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...といった具合に、前2つの項の和が次の項になるような数列である。カメラの構図や植物における花や実の数、ときに金融の世界でも現れるこの数列だが（金融の場合は、多くの人がこれを参照するからその特徴が現れるという、ある種「信じるものは救われる」的な部分もあるのも確か）、前後の項の比の極限が黄金比になることも有名な事実だ。しかし、ひとつ学生時代から解せないのがフィボナッチ数列の一般項の汚さだ。これだけ自然界を彩る数列のくせに、自身の一般項という最もベーシックなところがとても汚い。いきなりここでその一般項を紹介するのもいいのだが、折角だからその汚い世界への道程から誘いたい。まず漸化式から考える。前2項の和が次の項になるわけだから、a(n+2)=a(n+1)+anと書ける（ここで、エディタの事情からn番目の値をan, n+1番目をa(n+1)などと書くことにする）。漸化式までは係数もなく綺麗だ。この漸化式はいわゆる3項間漸化式と呼ばれるもので、一般項を求めるときは特性方程式を用いるのが常套手段である。しかし、特性方程式ってなんだよ、という人もいるだろうからこの辺から少し説明したい。自分から話しておいて何だが、そもそも特性方程式なんて言葉はどうでもよくて、我々は漸化式と一般項の表現の往来について、語弊を恐れずに言えば等差数列と等比数列しか知らない。ゆえに、このどちらかの表現に落とし込む必要がある。等差数列(dは公差)ではa(n+1)=an+d↔an=a1+(n-1)d等比数列(rは公比)ではa(n+1)=ran↔an=a1r^(n-1)という関係が漸化式と一般項の間にある。a(n+2)=a(n+1)+anの式においてそれぞれ考えると、a(n+2)-Aa(n+1)=a(n+1)-Aan+dが成立するようなA、dは存在しないので等比数列には持ち込めない。等比数列に持ち込むことを考えると、a(n+2)-Aa(n+1)=r(A(n+1)-Aan)と表せるA、rが存在すればよい。式変形をするとa(n+2)-(A+r)a(n+1)+ARan=0となるので、これとa(n+2)=a(n+1)+anを同じ形にしたa(n+2)-a(n+1)-an=0の係数を比べる。A+ｒ=1Ar=-1となるわけだが、和と積の形で表されていることから解と係数の関係を用いて、A、ｒはx^2-x-1=0の解となる。これは因数分解できないので解の公式を用いて、・・・として解いていくのである。因数分解できなくて、解の公式を使う時点で今後の計算がどれだけ汚くなるか予想ができることだろう。これを計算して最終的には、an=1/sqrt(5)[{(1+sqrt(5))/2}^n-{(1-sqrt(5))/2}^n]という一般項を得る。ここでsqrt(*)は*の平方根を表す。一行で書いていることも相まって、あまりにも汚い式である。んー。この一般項が綺麗な式だと逆につまらないのだろうか。
30Sep
- 方程式の雑談
  勝利の方程式、恋愛の方程式、笑いの方程式。色んな所でこの「方程式」を用いた比喩を見かける。面白いことに数学が苦手だなんて公言していても、こういった表現に躊躇がない。基本的にはなんらかの問題を解決する方法として、例えば野球における勝利の方程式だと、リードしている状況でお決まりの継投策・継投陣を使うことでその試合に勝利することを言うようだ。このとき実際に式を考えると、リリーフ陣のメンバーを変数として試合に勝つ＝Σ（リリーフ陣）という式において、勝利の方程式に名を連ねる投手A、投手B、投手Cを代入すると成立する、といったところだろうか。恋愛の方程式はどうだろう。手段を変数として意中の人を射止める＝Σ手段という式において、手段1、手段2、手段3・・・を代入すると成立する場合を言うのだろうか。すると笑いの方程式もまた似たところだろう。ここでそもそもなことを確認しよう。「方程式」とは何だったろうか。A=Bという式があるとき、これだけだと等式と呼ばれる。この＝がどんなときに成り立つのか、というのが要である。いつでも成り立つときには、この等式は恒等式と呼ばれる。逆に、成り立つことがある、というときにその等式を方程式と呼び、その成り立つ値を解と呼ぶのである。この恒等式と方程式は、以前に説明した「全称と存在」がいきている。どんなリリーフでも、どんな手段でも成り立つのであれば意味がないわけで、特定の投手、特定の手段で成り立つ比喩としては良く出来ているなといつも思う。なのに方程式の勉強したって大人になって役に立たないなんて言われると、役に立つよという反論以前に少し寂しくなってしまうのである。
25Sep
- 直感と確率について（モンティ・ホールの問題に続いて、三竿のタンスの問題）
  数学において、「確率」という分野はいささか異彩を放っているように思う。僕の院生時代の専攻分野だったので贔屓目に見ていることもあるのだろうが、代表的な分野である解析や代数、幾何と一線を画している（気がしている）。コインを投げたときの表の出る確率は1/2というときに、この値は只の数字の比ではなく現実に実験を行うと近づく値である。順列・組み合わせの議論において、2つのコインを区別しないとき、といった仮定における数えあげはあり得ることだが、確率においてはこのような仮定は意味を成さない。確率の世界では、全ては異なるのである。2つのコインを区別しないときに、（表、裏）となる確率は1/3と考えることはありえない。考えて見れば当然で、世の中には2つと同じコインは存在しない。どんなに酷似していたとしても、"同じもの"というのは存在しない。以前に話をしたモンティ・ホールの問題もそうだが、条件付き確率を考えるときには現実との違和感を感じがちだ。以下は、三竿のタンスの問題と呼ばれるものだ。「3つのタンスはどれも2つの引き出しがある。第1のタンスの引き出しには金貨が1枚ずつ、第2のタンスには金貨と銀貨が1枚ずつ、第3のタンスには銀貨が1枚ずつ入っている。今、無作為に1つのタンスを選び、一つの引き出しをあけたら金貨が入っていた。このタンスのもう1つの引き出しに金貨が入っている確率を求めよ」なれないうちは直感が誤りを導きかねない。是非、すべてのものを区別するというスタンスで考えて欲しい。金貨が1枚出ているので、銀貨のみのタンスを考える必要がなくなる為、1/2というのは間違いである。これは金貨が全部で3枚ある中で、これらを区別していない考え方である。現実にこの施行を行ったときにこの値に近づくことはない。金貨の3枚をすべて区別して考える必要がある。問題文がそのように思えても、世の中に同じ金貨が3枚あることはありえない。この3枚を区別するためにG1、G2、G3とする。G1、G2が同じタンスにあるとするとき、最初にひいた金貨がこのタンスである場合、もう1枚は金貨、G3が入っているタンスの場合はもう1枚は銀貨となる。よって、もう1枚が金貨である確率は、2/3となる。世の中、何らかの状況で確率的な判断をするときというのはあると思うが、直感的に考えるとときに裏切られるので要注意だ。
13Sep
- 英文法と数学の関係
  日本生まれ日本育ちの生粋の日本人だが、大学院を卒業して長らく外資系金融機関で働いている。学生時代、けして英語が得意だったわけではないし、院生時代も必要な最低限の英語だけを学んで論文を書いていたから、入社して以来随分と苦労した。性格柄、沢山英会話を聞いて慣れるなんてことには抵抗があって、仕事で使うならば徹底的に学習しようと英文法の習得に随分と時間を費やした。勿論、それがもっとも効率的な手段ということではないだろうし、それで話せるようになる保証もないのだが、定義から定理や公式を導く習慣になれていたことから、似た手法が自分にあっていると感じたためだ。結果、今では仕事をする上ではそんなに問題ないレベルには使えていると感じている。英語は日本語に比べてロジカルな言語であると言われている。それは英文法を学習している中で、経験的にも感じたところだ。しかし、どういうところがロジカルにできているのかという話は長くなるので、ここではその一つを紹介したい。数学で命題を扱うとき、全称と存在ということを考える。平たくいうと、全称とは『全て』、存在とは『在る』ということである。これは論理的には否定の関係にある。例えば、A「すべての国民が安保法案に賛成である」ということの否定は￢A「安保法案に反対する国民が存在する」といった具合だ。誤解しやすいが、B「すべての国民が安保法案に賛成していない」ではない。ある命題に対して、その否定命題との論理和は恒真命題（常に正しい命題）となる。AとBの関係を考えると、A「すべての国民が安保法案に賛成である」またはB「すべての国民が安保法案に賛成していない」の命題の真偽が恒真命題であれば、B=￢Aということになる。しかし、とある国民Aさんは反対しているが、国民Bさんは賛成している、ということを考えると、これはA∨Bには含まれていない。一方、「すべての国民が安保法案に賛成である」または「安保法案に反対する国民が存在する」はどんなパターンも含まれる。全部で100人だったとして、どちらかに100人が寄る場合も、人数が割れる場合も含まれていることは容易にわかるだろう。さて、英語の話に戻る。英語にはこの全称と存在の考え方がそのまま採用されている。SomeとAnyである。これらは、学校英文法では肯定文ではSome、否定・疑問文ではAnyと習ったり、英会話の中ではそうとも限らない、と習ったりする。Someが存在で、Anyが全称と考えればうまくいく。また、AllにNotがつくと部分否定というのも同じ話である。全称を否定しているのだから存在である部分否定になって当然である。英語を学習する中で、こういった数学でも用いられる考え方が登場するとモチベーションが上がるのは僕だけだろうか。
11Sep
- ロジカルシンキング？
  ロジカルシンキングと数学の関係について問われることがあるが、そんな高尚な話の前にこの問題を考えてみて欲しい。「友人3人で900円のものを300円ずつ出しあって買おうと考えた。お店でレジで商品を出したところ、店員はこの商品をみて500円引きできると店長に言われたことを思い出した。そこで店員は200円をポケットに入れて、300円割引でき、1人100円ずつキャシュバックできることを説明した。ここで整理する。500円割引はキャッシュバック金と店員のポケットにあるお金に分割される。このキャッシュバックを加味すると、1人あたりは200円の出費になる。つまり、3人で600円だしたことになる。ここに店員が盗んだ分の200円を足すと800円。もとの金額900円に戻らない。なぜだろうか。」わかる人には簡単にわかるだろうが、悩んでしまう人もいるはずだ。ビジネスの世界においてロジカルシンキングという言葉が飛び交うようになって久しいが、ロジカルシンキングが単に因果関係や条件分岐に関する表現を用いることにならないためにも、自分の論証力が正しいものなのか、ときには数学の問題を解くことを通して確認してみるのも良いと思う。なぜならば、数学では自分の論証が間違っていると基本的に正答には辿り着かないわけで、曖昧なことを命題としない数学は論理的思考力の検証としてごまかしの効かないものとなるからだ（高らかになぜならば！というほどの話でもないが。。。）。ちなみに、上述の答えがわからない人のために少しヒント。起きている事象を素直に式で考えてみる。900=400+500=400+200+300である。これから、3人がだした600円は何を意味しているだろうか。このヒントでもわからぬ人へ。くれぐれも詐欺にかからないことを祈る。
06Sep
- 受験数学と暗記
  受験数学において、数学と暗記の関係が議論になるときがある。かつては、それを表題にした本が話題にもなった。パターンを暗記すればおよそほとんどの問題は解けるとか、暗記をしても応用問題に太刀打ちできないとか色んな意見がある。ここでは、趣味として数学を楽しんでいる立場から見解を述べたい。受験問題において、実際にその多くがパターン化している。問題を作る側の事情として、目新しい問題を頻繁に作ることは難しい。何かしらのカテゴリを意識した中で作成することが多いはずだ。それにはいくつか理由があって、数学一般における有名事実を題材・背景にしたり、解答者が一定割合で正答を得られるようにレベルを意識したりする為である。その中には、ある種先人の知恵的な解法があったりして、凡人の思い付くところでないようなものも存在している。換言すると、学習の賜物として得られる知識である。こういったことを知らずして、解法を自ずから発案することは不可能と言わずとも難しい。ここまで述べると、あたかも僕が数学は暗記であると標榜する向きに同意してるように読めてしまうが、僕の真意はここからだ。受験数学において、公式やパターンは武器である。手段であって目的ではない。多くの議論はこの武器の使用方法について、覚えるべきとか、理解して使うべきとかを扱っている気がする。重要なのは眼前の問題に対し、どの武器を使うのかという点だ。適切に判断ができなければ、持ち腐れである。逆に言えば、武器をちゃんと使えるのであれば体得の仕方はどうであってもよいのではないか。もちろん持っている武器について、深い造詣があることはその活用に幅を広げるし、定着にも繋がる。だが、どんなに知識が豊富でも、どんなにパターンを覚えていても、今考えている問題に対し、どの知識が使えるのか、どのパターンに当てはまっているのかを判断できなければ意味がない。そして、その適切な武器の選択による解法の構築こそが数学の醍醐味である。この選択については暗記というわけないは行かないだろうし、適切な選択ができることを人によっては数学センスと呼んでいるのだと思う。この数学センスについては、問題に対する観察力と論理的思考力によって構成されるものと考えている。そこでそれらの醸成手段として、個々の問題をどのように観察し、どんな思考経路で武器を選択して解答を構築しているかについて、センター試験を題材に電子書籍に書いているので、気になる人は一読いただきたい（さり気なく宣伝：http://www.amazon.co.jp/dp/B014G4XLU6）。この、自分がその時点でもっている知識を武器として、眼前の問に立ち向かうという態度は数学に限った話ではないはずだ。多くの領域で、知識は持っているだけで効力を発揮する何かの通行手形ではなく、活用を持って役割を担うもののはずである。数学が暗記とかどうとかの話は、この観点からは少し寂しい気がしている。
03Sep
- パチスロと数学
  昔、よくパチスロをやっていた。4号機が全盛だった頃だ（4号機？という人は気にせずに）。パチスロは各機種6段階の設定を設けてあり、各機種・設定ごとに機械割（還元率）や期待収支といったものが雑誌等に記載されいる。そのときよく耳にしていたのが、確率は収束する、という話だ。なかなか大当たりが引けず、相当数回転させてしまった台において、その時点の経験的確率が公表されている確率よりもとても小さくなっているとき、確率施行は無限回繰り返すことにより値が収束し理論値になることを背景に、確率値を調整するように大当たりの波が発生するだろうと考えている人は少なくなかった。また、もう少し利口な人であっても、試行回数が少ないだけだ。数多く回せば、理論値に近づく、と話していた。神様はそんなにお人好しではない。大当たりの並が来ることもあるだろうが、負けている人の財布から根こそぎ取っていこうとすることはよくあることだ。では確率が収束するということは嘘なのだろうか。もちろんそんなことはない。確率は無限回の施行において収束する。これは、神の手によって調整が図られて、理論値に向かうのではなく、大局的な方向性が存在しているということである。仮に大当たりの確率を1/200とする。毎度レバーを叩く度の大当たり確率は一定である（詳しい人へ。純Aタイプである前提で考えて欲しい）。大当たりを引くまでに、３回連続で1,000回転を超えたとする。この時点で、経験的確率は(1/1000)^3より小さい。ここで相当数回転させれば、これが1/200に近づいていくはずなので、すぐに辞めずに続ければ少しは負けた額を取り戻せるかもしれない、と考えがちである。しかし、確率の収束とは、そういうことを意味しているのではない。確率の一時的な偏りが回数を重ねることで修正されていくわけではなく、無視できるくらいのものになっていくのである。一時的に(1/1000)^3となったからといって、大当たりが少ない回転数でくることが頻発して調整が起きるのではなく、3,000回近く回して３回しか当たらなかったという事実が誤差であるくらいに（無視できるくらいに）回転数を回したときに、大局的な方向性として1/200に近づくのである。このときに10万円くらい大負けしたとして、莫大な数の試行回数を重ねたあとで1億円規模の勝ち負けの話をするときに10万円の話がちっぽけでどうでもよくなる、といった具合だ。これを数学的には、大数の法則と呼ぶ(証明は割愛)。あたりまえじゃないか、と思う人が多いとは思うが、純Ａタイプ機のハマり台に期待してしまうあなたにこの記事を捧ぐ。*証明のような数式が多発するものはブログでは書き辛いけど、そのうち電子書籍でまとめみようか思案中。
02Sep
- モンティ・ホール問題と知ってる人への罠のかけ方
  今回は、映画等でもでてくる有名問題であるモンティ・ホール問題について、僕なりに説明をしたい。まず、モンティ・ホール問題とはなにか、という人のためにWikipediaから抜粋する。「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会者（モンティ）が残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？」この問題に関するいろんな逸話も面白いのだが、ここではストイックに解答とその思考経路に重きをおきたい。まだこの問題を考えてみたことがない人は、ここで一度ドアを変更するべきか否か、解答を見る前に挑戦を是非。いま、ただ２つのドアがあって、どちらかのドアの後ろが新車という状況ならば、1/2で迷いはない。この問題のポイントは、一度ドアを選択した後で、モンティが残るドアのうち一つを開けてしまい、新たに選択の機会を与えられることにある。プレーヤーがはじめに選んだ扉がハズレだった場合、モンティは残る2つの扉のうち、ハズレのほうを選んで開ける必要があるので、感覚的にはここの部分が、プレイヤーの再選択に有利な情報を与える。しかし、この説明では納得出来ない人もいるだろうから、もう少し確率然として説明をしたい。全てのパターンを考えてみる。○を新車、×をヤギとする。ここで確率一般論としては、2匹のヤギを区別し、×1、×2として数えるべきだが、全てのパターンにおいて、この2匹を入れ替えた分2倍になるだけなので、ここでは区別しない（基本的には、2枚のコインを投げたときの確率のように、全てを区別しないと真実の値にはならない）。①　○××②　×○×③　××○3つのドアのうち、どれでもいいのだが、とりあえず中央のドアをプレーヤーがはじめに選んだとしよう。これが新車である確率は、1/3である。3通りのうち、②の場合だけなので明らかである。ここで、モンティが一つドアを開けてくれるときを考える。①のとき、右の×をモンティは開くので、プレーヤーが選びなおすと新車が手に入る。②のとき、プレーヤーが選んでいるものが新車なので、モンティが残るどちらのドアを開けようと、ハズレとなる。③のとき、①のときと同様、選びなおすと新車が手に入る。このことから、選びなおすと2/3の確率で新車が手に入る。選び直さなかった場合は、1/3のままなのでプレーヤーは選び直したほうが新車が手に入りやすいということがわかる。ちなみに最後に、大した話じゃないが、モンティ・ホール問題を知っている人にちょっとした罠を掛ける方法について。このモンティ・ホール問題を知っているプレーヤーに対し、問題と同じ状況を設定すれば変更を試みてくることが予想できる。ここで、変更のチャンスについては冒頭では言及しないことにし（つまり必ず実施するわけではない）、プレーヤーが新車のドアを選んでしまった場合のみ、後付でこのチャンスを与えることにする。すると、「お、モンティ・ホールの問題と同じ状況だ」とばかりに、プレーヤーはドアの変更を申し出るので、ハズレに落とし込めることができる。
31Aug
- 合コンにて
  　今回は少し下世話な話をしたい。　合コンに参加したとき、相手のグループの誰がタイプかをこちら側でシェアしておくことは、合理化という観点でとても重要な行為である。しかし、当然相手のグループにそういった話を察知されてはいけない。そんなとき、どうやってコミュニケーションを図るべきだろうか。　よくある手としては、おしぼりを意中の人に向けるとか、トイレに行くときにさり気なく伝えあうとか、スマホでこっそり連絡するとかだろう。　ここで僕は、スマートな方法として2進法の活用を提案したい。詳しい活用法の前に、2進法とはなんだったか振り返ってみる。　例えば、一番身近な10進法で365という数字を考えてみる。　　　365=3×10^2+6×10^1+5×10^0と、いった具合に表現できる。よく、1の位とか10の位とか言ったりするが、それを用いて表した形だ。ここで、この式は10の累乗を使っていることから10進法による表現と呼ばれる。ちなみに、この10を基数と呼ぶ。この基数の累乗部分にかかっている数を並べると365となり、これを10進数の表現となる(ほんとは一般論としてn進法の形を論じたいところだが、ブログでは書き辛いのでここでは割愛)。　2進法とは、この基数を2にしたもののことである。上と同じ365を2進法で表すと、　　365=1×2^8+0×2^7+1×2^6+1×2^5+0×2^4　　　　　　+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0となる。この各基数部分にかかっている数を横に並べると、101101101となる。　これが365を2進数で表した数である。　大切なのは、任意の整数において、2進数と10進数の相互変換において、一対一対応するということだ。365を2進数にするときは101101101にしかならないし、逆に101101101を10進数で表すときには365にしかならない(証明もブログでは書き辛いので割愛)。　本題に戻って、この2進数をどう活用するのかについて説明する。　相手のグループを左からタイプの人を1、タイプでない人を0とする(タイプが二人以上いたときにも対応できる)。たとえば、相手のグループが5名いたとすると、01001といった具合だ。この01001を2進数と見立て、10進数に変換する。この場合だと、9になる。　続いて、この9を用いてなにか発言をする。「野球やりたいけど、9人集まんないよな」とかなんとか、適当に文を作ればよい。　すると聞き手は、その話に出てきた数字を2進数に換算する。桁が人数と合わない場合は人数分0を左に補うことにする。すると、当然01001に戻る。あとは聞き手が相手グループにこの数字を左から当てはめていくだけだ。左から2番目と一番右がお気に入りということが伝わった。　文章にすると、僕の拙い文章力も相まって面倒に思えるかもしれないが、実際には非常に相手グループにバレにくく、強力でスマートな方法である。2進数を10進数にするのは簡単でも、逆は面倒だと思う人もいるかもしれないが、すごい大勢の合コンでない限り、大した換算ではない。　一つ難があるとすれば、合コン前に仲間に2進数の授業をしなければいけないかもしれない点くらいかと。　是非、次回のあなたの合コンに。
30Aug
- 鹿児島県知事の発言から思うこと
  　先日、鹿児島県知事の「女の子に高校でサイン、コサイン、タンジェントを教えて何になるのか」「それよりもう少し社会の事象とか植物の花や草の名前を教えた方がいいのかなあ」と言った発言がニュースになって物議を醸していたが、女性蔑視とかそういう当然の指摘は他の方々に任せ、ここでは観点を変えて「男女問わず皆さん、サイン、コサイン、タンジェント、ちゃんと教わってますか」というそもそもな話をしようと思う。　多くの人は三角関数のサイン、コサイン、タンジェントと聞くと、直角三角形の3辺のそれぞれの組み合わせの比で表された式を思い浮かべるのではないだろうか。それも確かに三角関数ではあるのだが、角度が90°未満でしか成り立たない。　一般にどんな角度でも成り立つ定義は、単位円周上（半径1の円周上）において、（1,0）の点から原点を中心にθ回転した点を（cosθ、sinθ）とするというものである。この定義に円が登場することもあって、高校数学では別単元において出てくる、円の方程式とも密接に関わっている。原点を中心に半径rの円はx^2+y^2=r^2として表されるのだった（○^2は○の2乗の意味）。三角関数の上述の定義では、（cosθ、sinθ）は単位円周上の点であることを言っているので有名な公式、(cosθ)^2+(sinθ)^2=1が成り立つ。三角関数は、人によっては円関数と呼ぶ人もいるくらい円を考えることが重要である。知っている人には当然の話だが、逆もまた然りで2次平面における解析の諸問題を解く上においても、円が出てきたら逆に三角関数を思い浮かべてみる、ということが数学の難問に悩む人には解くきっかけになるかもしれない。これを知っていて何に役に立つのか、という話についてはとても長くなるので、また別の機会に。＊ちなみに、ですます調は苦手なので2稿目にして早速諦めた。
28Aug
- 数学が好きなサラリーマンのブログ、はじめてみました
  はじめまして。数学が好きなサラリーマンです。会社の同僚とか、友達とか、彼女とかみんなに秘密ではじめてみました。だから見てくれる人なんてとっても少ないだろうけど、ほそぼそと書いていこうかなと。簡単に自己紹介しておくと、大学院までは日々数学にどっぷり浸かって生活し、卒業後は外資系金融機関に就職して、趣味で数学をしてます。趣味が数学ってなんだよ、と思う人もいるかもしれないけど、数学って楽しいんです。世の中の役に立つとかどうとかはどうでもいいくらいに。でもそれってなかなか共感されないし、それ故かどうかはわからないけど、数学を楽しんでいる姿はキモいとさえ思われがちなのはわかってます。しかし。それを、なんというか、オシャレで知的な娯楽として広めることができれば、それは僕の本望です。映画とかドラマの中で、天才数学科が鮮やかに解いていく姿はオシャレでかっこいいですよね。そんな境地を目指して、頑張って更新していきたいなって考えてます。具体的にどんなことを書いてくかというと、僕が問題を解くときの頭のなかをひたすら説明し、僕と同じような思考経路をたどることで面白さをわかってもらったり、生活の中でウンチク的に使えるものを紹介したり、ときには何の関係もない雑談をしたりというようなことです。ちなみにいきなり宣伝で恐縮ですが、電子書籍でセンター対策本も書いているので、興味ある人は是非読んでみてください（AmazonのKindleストア）。思考経路をくどいくらいに説明している、ある意味で他に例を見ない仕様になっている本なので、結構読み物として読んでも面白いんじゃないかと僕は勝手に思ってます。そして激安の300円。スタバのコーヒーより安い。ちなみに2Bは執筆中です。数学が好きな金融サラリーマンが書いたセンター数学ⅠA: 2015年度版数学が好きなサラリーマ.../作者不明￥300Amazon.co.jpでは、今後ともよろしくお願いします。

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