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たまには数学の話題です。ついサボってしまいます。
ある授業でこの問題を扱いました。
2007年 千葉大 前期
(3)は非常にいい問題だと思っています。
高１〜２生が真剣に解くにはもってこいだと(個人的には)思っています。
(３)は(１)と(２)から24の倍数であることがわかります。
だから５の倍数であることを示せばいいのです。
多くの生徒は場合分けをしますが、５の剰余で考えるので、５つ場合分けをします。
それが嫌で逃げ道を探す生徒もいました。
(合同式を使えば早いのですが…)
でもいるんです。なんとかする生徒が。
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2-4+5)
=(n-1)n(n+1){(n-2)(n+2)+5}
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)
となるので、因数分解で５の倍数が示せます。
そういう考え方もできるので、いい問題だと思います。