(1) 35x+91y+65z=3をみたす整数の組(x, y, z)を 1つ求めよ。
(2) 上記の(x, y, z)の中で、x^2+y^2が最小となるものと、そのときの最小値を求めよ。
今年の東工大の問題を授業で扱いました。どう手をつけるか、苦戦していたようです。
これは合同式が使えれば、
13を法として
-4x≡3
-12x≡9
x≡9
ですので、x=13a+9と早い段階で一般解が出ます。
今度は5を法とすれば
y≡3
ですので、y=5b+3と出ます。
与式より、z=-7a-7b-9
ですので、a=-1, b=-1 とすれば、x=-4, y=-2, z=5
と出ます。(2)もこの値を用いれば出ます。
何を伝えたいかというと、合同式を学ぶと計算が速いということです。
合同式の話をするとかなり毛嫌いされますが、上手く使うと
いろいろな手間が省けるので楽ですよ。