いままでのまとめ！

これまで資料を読んでいろんなわかったことがあるから自分用にまとめちゃうよ～～！！！

ちなみに今読んでる資料のURLを貼っちゃうよ～～！

http://www.ingentaconnect.com/content/maa/amm/2007/00000114/00000002/art00001

読むのにはお金かかっちゃうからそこはうまく何とかしてね！！

この資料を自分なりの解釈でまとめていくねっ★

まず初めに出てくるのが灯台定理（Lighthouse Theorem）

資料の題名にもなってるやつだね！

・灯台定理

二つの点から、同じ角距離でn本の直線が伸びている。

それぞれの点をB,Cとすると、直線の交点n^2個は正n角形の頂点となる。

n角形の外接円はB,Cを通る。

で、この具体例でn=3とすると...？？

てかんじだね！

この三点を選ぶにもなんか規則があるっぽいけど、ここでは関係ないから省略！

点BとCに灯台があって、そこから光のび～～むが伸びてるの！！

実際には一筋の光なんだけど、一定の角速度で回ってるからそれを三等分したとき、てことだね！n=3だから三等分だよん♪

で、次は灯台補助定理！！

英語のThe Lighthouse Lemmaっていうのを勝手にこう訳したよ＞＜

これは多分なんだけど、

灯台定理によってできたn角形のnC2本の辺は、他のn角形のそれらと平行である。

ていうことだと思うんだおね＞＜；；

ぶっちゃけ英語が良くわからないからほんとに多分なんだけどっ＞＜ごめにゃあ＞＜

jwcadで辺の角度の属性を調べてみたら0.0000001度ほどの誤差はあったんだけど…まぁ平行ってことでいいでしょう！！知らんけど！

私の作図がくそへたくそだったってことでっ！＞＜

で、いよいよ本題！！

以上を踏まえると、モーリーの三角形って、灯台が三つあって、光のビームがそれぞれから二本ずつ出てる、て考えられるよね…！？

上の図にもう一つ灯台Aを足すよぉ～～！

はい！！ちっちゃく書いてる文字は気にしないでね(;´･ω･)

元の三角形ABCの辺を描くと～～

こんなかんじ！！

わあい！！

ちょっとそれっぽくなってきたあ♡

ここで、うまいこと３点を選ぶと正三角形が27個出てくるの！！

でもその27個の正三角形はその頂点の選び方によって18個と9個に種類が分かれてて、

そのうちの18個の方がモーリーの三角形って呼ばれてるものなの！

で、残りの9個はGuy Faux triangles(通称GF三角形)て呼ばれてるものなのっ

ここからは、どんな頂点の選び方をしたらモーリーの三角形かGF三角形になるかの説明をしてみるね^o^

まず、↑の画像にもちっちゃい文字で書いてるんだけど、それぞれの灯台からでてる光の筋一本一本に名前を付けます！

例えば、三角形ABCの∠Aを三等分している二本の直線（光の筋だよ）のうちの辺ABに近い方はAB0と名付けます。このときAB0は辺ABと∠（A/3）の角度をなしてるね！

同様に、辺ABと∠（（A+2π）/3)の角度をなしている直線をAB1、∠（（A;4π）/3）の角度をなしているものをAB2とするよ～

ほかの辺も同様にしたら、

頂点AからAB0、AB1、AB2、AC0、AC1、AC2

頂点BからBA0、BA1、BA2、BC0、BC1、BC2

頂点CからCA0、CA1、CA2、CB0、CB1、CB2

と名付けられた直線ができるね！！

次はそれぞれの直線との交点に名前を付けていくよ！！

今3つの頂点から六本ずつ直線があるから本当なら６×６×３個あるはずなんだけど、

今回はそのうちの27個だけに注目するよ！！

その27個の交点の選びかたは、名付けた直線のアルファベットが同じものだけの交点に注目するの！

例えば、AB0とBA0とか、AB0とBA1とか！

この時のそれぞれの交点の名前は00*、01*になるよ！

見たらなんとなく規則は分かったかにゃ？？

この規則でいくと、AC2とCA1の交点の名前は2*1になるね！！

という感じでほかの交点も同様にしたら

00*、01*、10*、02*、20*、11*、12*、21*、22*

0*0、0*1、1*0、0*2、0*2、1*1、1*2、2*1、2*2

*00、*01、*10、*02、*02、*11、*12、*21、*22

て感じで3×3×3＝２７個の交点があるってわかるね！

この中から頂点を三つ選んで正三角形を作っていくんだけど、その選び方の説明をしていくよ～～！

まずGF三角形の選び方ね！

実はメインで呼んでる資料だけじゃGF三角形が何なのか理解できなかったから、別の資料も参考にしたよ＞＜

https://www.researchgate.net/publication/228521476_On_rational_Morley_triangles

この資料は無料で読めるから安心安全だねっ♡ありがと♡

直線と交点の名前の付け方はこっちの資料の方がわかりやすいと思うのでよかったら読んでみてね＞＜語彙力C-カンストでごめんねっ＞＜

三角形についても資料を読んだ方がわかりやすいと思うんだけど、以下はぼくなりのまとめを書いてみるね

GF三角形の頂点三つは、交点の*の位置が全部同じで頂点のうちの一つに二つ同じ数字が入ってる点を含んでいて、ほかの二つの頂点はその数字を含まない三角形だよ＞＜ごめんいみふだね＞＜

例えば、GF三角形の頂点の一つに00*があれば、ほかの頂点は12*と21*に自動的に決まるわけだね！

他には、1*1があればほかの頂点は0*2と2*0になるね！

他も同様に選ぶと、

(00*、12*、21*)(0*0、1*2、2*1)(*00、*12、*21)

(11*、02*、20*)(1*1、0*2、2*0)(*11、*02、*20)

(22*、01*、10*)(2*2、0*1、1*0)(*22、*01、*10)

で全部で9個の頂点の組ができるね！

これをつなげるとそれぞれ正方形になるよ！！気になる人は試してみよう！！

ハイこんな感じ！！！！

ここにGF三角形九個あるよ！！！なんかほかにも正三角形ぽいのたくさんあるけど！！！

次はいよいよモーリーの三角形について考えていくよ！！

ネタバラシしちゃうと、モーリーの三角形は＊の位置が全部だけど、数字は一緒っていう三角形になるんだよね！

例えば000っていう三角形は、頂点が（00*、0*0、*00）で構成されてるってことだよ♪

そして次はモーリーの三角形を考える上でたぶんかなり重要な定理を紹介しゅるよっ

Conway's extraversion～～～～～～～～ヽ(^o^)丿

これは多分なんだけど、元の三角形の角度をある法則で置き換えていくと、モーリーの標準的な三角形（000のことだよ！）からほかの三角形になっちゃうの！！意味わからんね？？

てかまぁこれ前の記事でも書いてみたんだけど＞＜もうこの説明むりぃ…

ある法則っていうのは、例えばA-fripだったら、

（A,B,C）→（-A,π-B,π-C）に変換されるの！

この時（A,B,C）で000だった三角形は、（-A,π-B,π-C）での000に変換されて、

（-A,π-B,π-C）での000は(A,B,C)での001になるの！！

この、どの三角形が次にどんな三角形になるか、ていうのは図に書いてみるとわかりやすいよ！！モーリーの三角形が18個だから、18回コンウェイすることになるね！！

手描きで汚くてごめんにゃ。。。🐈

18回のコンウェイちゃんをしたらこんな感じになるよ♪

頑張って解読してね(　´∀｀)bｸﾞｯ!

あとは～～～…

モーリーの三角形とGF三角形の重心をつなぐと箱型(直方体)になってるってことかなぁ…

これらがどんな意味を持つかはわからにゃいんだけどっ＞＜

とりあえず今わかってるのはこんなところかな！？

重要なのは

・灯台定理

・灯台補助定理

より、モーリーの三角形のそれぞれの辺が平行で、GF三角形の外接円はそれぞれの灯台を通る。

・GF三角形

・Conway's extraversionによるモーリーの三角形

かなぁ…

なにがどんな風に関係していくのかわからないからなんとも言えないんだけど…っ

でも資料では次から灯台定理でn=2の時の話をしてるから多分今回のぼくの研究では関係ないと思うんだおね＞＜ていうかもう英語読みたくないよぉおぉぉぉおぉぉぉおぉお…

う～んなんか色々感動することはあったけどこれからどうしようか、、、

具体的な目標が未だにないから何をすべきなのかいまいちわからないにゃあ

先生に相談だっ！！

こんうぇいずえくすとらゔぁーじょん…？？

conway's extraversion....ってなんぞ！？！？

研究室の先生からヒントとして教えてもらったんだけど、いまいちよく分からないよぉ～～( ˘•ω•˘ )

と、いうことで！！！

またまた図を描いてみたのだッッ★☆彡

ちょっと見づらくてごめんね(´；ω；`)ｳｯ

△ABCがもとの三角形！

で、△ABC内にある水色の正三角形がモーリーの標準的な三角形。

黄色の円が内心円ね！！(⋈◍＞◡＜◍)。✧♡

で、右側にある水色正三角形が、別のモーリーの正三角形！

黄色の円は∠Bについての傍心円だよ！！

なんで急に傍心円なんだ～～？？？て感じだよね！？

ぼくもうまく説明できるか不安なんだけど、、、＞＜

資料を読んでたらconway's extraversionっていうのが関係するらしくて＞＜

このコンウェイちゃん（conway's extravesionのことだよ！長いから略すね^o^）は、

角A,B,Cを、-A,π-B,π-Cに置き換えるてことらしいの！

置き換えたらこれって傍心円てことだよね！？

ちなみに↑ではAについて置き換えたから、これをA-fripっていうらしいんだよ～～٩( ''ω'' )و

B-fripだったら角A,B,Cはπ-A,-B,π-Cになるってことだね！！

で、モーリーの三角形は、これを置き換えまくって置き換えまくって…てしたのが18個のモーリーの三角形になるってことっぽいよ！？？？

で、ここまで来たら円の内心点と三角形の重心は一緒なの！？ておもうやん！？！？

それが！！

ちがうの！！！！！！！！！！！！！！！！

上の画像では仮点で打っちゃったからPDFにしたときに見えなくなっちゃってわかんないんだけど(´；ω；`)ごめにょおお

近い位置にはあるんだけど完全に一致はしてないんだよね＞＜＞＜どういうことだこのやろう！

ぶっちゃけぼくもまだまだ分からないことだらけだからとりあえず資料を読み進めてみようって感じ(>_<)

英語だからなかなか理解できないんだおね…

ていうか前の記事で次はこういう記事を書くよ～～って言っておきながら全然違うこと書いてごめんね！て感じ！

基本ぼく適当だから＞＜ゆるしてちょ＞＜

なかなか研究進まなくてつらみだけどがんばるぞおえへへ(*´σｰ｀)

This is GF外接円★

みてみてみて！！！

すごいなの！！！！

この図はもとの三角形ABCからできた9個のGF三角形の外接円のうち三つずつが一つの点で交わるところを表してるにょ(*'▽')

英語で書かれてた文がぜーんぜん理解できなかったからとりあえず図を描いてみたら一発でわかったなの～～(*'ω'*)

モーリーの三角形とGF三角形っていうのは、元の三角形ABCの三つの頂点を三等分する直線の交点をつないでできた正三角形のことなんだけど、

その交点を選ぶのにちょっとした法則があって、

その法則に則って出来た正三角形9個がGF三角形で、

それ以外をモーリーの三角形っていうんだって！！！

多分！！

その法則は一言でいうのは難しいからまた別の記事で書いてみるね！！

次の記事はもとの三角形ABCからこの大きな正三角形やGF三角形とかができる手順を書いていきたいと思うにゃ～～！！(=^・・^=)

jw-cadでさくさくず！

控えめに言って感動しません…？

これ見てモーリーの定理は最も美しくて実用性のない定理って言われる所以がわかった気がする。。

jw-cadやと太い線は印刷の時しか反映されないらしいからGF三角形が見えにくいけど(＞人＜;)

まぁ印刷してもなぜか反映されてなくておこ😡って感じだったけど！！(๑>◡<๑)

でもでも〜〜ん！！

モーリーの三角形とGF三角形の違いは図の上ではなんとな〜〜く分かったけど定義とかはまだよく分かってないからそこらへんを理解したいところだぬっ٩(๑❛ᴗ❛๑)۶

最終的には元の三角形の形や大きさを変えるとモーリーの三角形がどう変わるかを調べるのがぼくの最終的な目標みたい！

さっきせんせぇに聞いたっ(*´◒`*)

だからこれからの目標はGF三角形とモーリーの三角形の違いを明確に理解するってところかにゃ？？🐈

なんか俄然やる気出てきたぞぉぉ〜〜↑↑(ᵔᴥᵔ)

ちなみに「俄然」の類義語は「急に」、だぞっ♡♡

ちょっと図形描けた(*ﾉωﾉ)

ちょっと図形描けたヽ(^o^)丿！

もーりーっぽいの！！( ˘•ω•˘ )

ちょっと頑張って色分けとかもしてみたんだよぉぉ(⋈◍＞◡＜◍)。✧♡

CADぼくが大体したかったことが出来てすごいなの～～～～(｡◠‿◠｡)♡

角度とかも自動で表示してくれるし、角の三等分線もちょちょいのちょいっ！てかんじ！！ヾ(❀╹◡╹)ﾉﾞ❀

でもでも～～～～！！！！！

資料やっぱり理解できにゃいよぉおヾ(◕ε◕`｡)

交点27個どころじゃないような…！？！？

もっかい資料読み直して図形描いてみようかにゃっ((ヾ(๑ゝω･ิ)ﾉ☆ﾟ+.

もーりーの謎を解き明かしてみせるのだっっっっ٩(๑`^´๑)۶