a(1)=1, a(n+1)=3/a(n)
早速だが、このあまりみかけない漸化式を解いてみよう。
試しにいくつか値を求めてみる
a(1)=1
a(2)=3/1=3
a(3)=3/3=1
a(4)=3/1=3
...
どうやら、nが奇数のときは1、偶数のときは3になるようだ。
証明してみよう。
漸化式といえば数学的帰納法だが、今回はもっとスマートに証明する。
漸化式より
a(n)a(n+1)=3...①
a(n+1)a(n+2)=3...②
①÷②より
a(n)/a(n+2)=1
a(n)=a(n+2)
よって、
a(1)=a(3)=...=a(2k+1)=1
a(2)=3/a(1)=3 だから
a(2)=a(4)=...=a(2k)=3
このように、交互に値が出てくるのがこの分数型の漸化式の特徴である。
まあ、だから何ぞやという話なんだが...
実は最近、この形の漸化式によって、２重階乗が表せることがわかったのだ！
次回 分数型漸化式で2重階乗をあらわす！