今回の問題、いかがでしたでしょうか？
こ問題は1999年の東京工業大学の入試問題です！
問題は短文で、重厚感たっぷりですね
え～っと、まずAとBというのはa、bについて同次式ですので、t＝a/bとでもおいて議論を進めることが可能です
あとは一変数関数の微分の問題に帰着されます
これは同次式の問題における常套手段ですね
今回はこの模範的な考え方については解説はしません
このやり方を詳しく知りたいという人はすぐに見つかると思うので、ぜひネットで解答を調べてみてください
さて、僕が今回解説する考え方については、それはテーマにもありますが、凸不等式についてです
凸不等式.....
早熟な高校生、それから理系の大学生ならば知っていると思います
凸不等式は不等式の証明において、圧倒的な威力を発揮することが多々あります
これは知ってたら得です*･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･'(*ﾟ▽ﾟ*)'･*:.｡. .｡.:*･゜ﾟ･*
簡単です
これを見てください
上に凸な関数について
関数の凸性を利用すると、上のような不等式が成立することがわかります
下に凸な関数についても大小関係が逆になるだけの同様の不等式が成立します
今回の問題は、ずばりこのアイデアで考えていくことが可能です
おそらく、この問題が作成された背後にはこの凸不等式というものがあったのでしょう
しかし、それをどのようにしてA、Bに適応させるのか.....
A、Bがそのままだと、見抜きにくいです
ちょっと、A、Bを平等にイジってみます
A、Bを共に2のp乗で割ると....
そうです
A、Bは上のf(x)をf(x)＝x^pとしたものに照らして考えることができますね
以下、解答です
難易度は、Bくらいかな