数学ネタ。
平均のとり方は2種類ある。
相加平均と、相乗平均である。
相加平均は、小学校で習うような平均のことで、
例えば、2人がテストを受けてテストの点数が
それぞれ70点, 90点ならば、平均点は
( 70 + 90 )/ 2 = 80,
より、80点である。
このとき、
(70-80) + (90-80) = 0
となっており、2人の点からそれぞれ等しく離れた点が
平均であることがわかる。
一方、相乗平均は例えば、ある店の中に、
100 平方メートルの売り場Aと 10,000 平方メートルの売り場Bが
あるとする。
売り場Aの商品が人気になったので、お店の持ち主は
売り場Bから多少のスペースを売り場Aに渡したい。
では、目安として平均を考えよう。
相加平均では、
( 100 + 10,000 )/ 2 = 5,050,
となるが、売り場Bの人はおよそ半分の 5,000平方メートルを
渡すのに、そう簡単に納得するわけがない。
では、売り場Aからは x倍, 売り場Bからは 1/x倍となる値を
新たな平均と考えるのだ。
この平均の値 y は、
y = 100 * x = 10,000/x,
である。
ところで上の式は、
y * y = 100* x * 10,000/x = 100 * 10,000,
と変形でき、xという余分な文字を消すことができる。
(余計な文字を用いない、数学的によりエレガントな形にできる)
y * y = 100 * 10,000,
y = 1,000,
と求まり、この平均の値は 1,000 平方メートルだとわかる。
売り場Bはその面積の10分の1を渡しただけであり、
売り場Aはその面積の10倍の面積を得られた。
この平均は、n個の数値に対して、お互いの数値をかけたもののn乗根を
(今の場合は2個の数値なので、その平方根)
とるので、相乗平均という。
また、相乗平均ではお互いから同じ倍率の変化を行なっているため、
対数上では相加平均を行なっているのと同じである。
片対数のヒストグラムをとって、相加平均するイメージ。