twitterでRTしたら、意外なほど盛り上がった。。。
なんか間違えたつぶやきを何度かしてしまったので、
暇じゃないけど解いてみた。。。
自然数の関数、f(n)、g(n)を
f(n)=nを7で割った余り ・・・(1)
7
g(n)=3f(Σ k^n) ・・・(2)
K=1
によって定める。
(1)すべての自然数に対してf(n^7)=f(n)を示せ。
→ここで「mod」が、いかに強力な性質の関数かが分かります。
無限の自然数を有限の、しかもたかだか7種類の数に制限する関数です。
「0,1,2,3,4,5,6」までしか存在しない世界なのです。
で、証明は、0から6までだけに対して行えば十分だと分かります。
もう少し、冗長に言うと、0<=x<=6とすると、以下の式になります。
n^7/7+x=n/7+x
単純に7倍して整理すると、
n^7+7x=n+7x
n^7=n
ということで、xに関わらず、n^7がnと同じになれば良い。
0<=x<=yならば、n^y=n ・・・(3)
もっと言うと、7を含むすべての自然数yで成り立つということが分かります。
7進数のみならず、なんらかの互いに素となる素数進数が問題として面白そうです。
さて、自然数。。。とは言ってませんね。
定義されているのは自然数の関数です。
ともかく、マイナスは出てきませんので、n^3まで求めれば十分です。
これなら暗算出来ますね。
0^7=0
1^7=1
2^8/2=256/2=128
3^6*3=9^3*3=729*3=2187
で7で割った余りを出してみる。
128-(18*7)=128-126=2
2187-(312*7)=2187-2184=3
よって、
4^7=(7-3)^7=4
5^7=(7-2)^7=5
6=(7-1)^7=6
7=(3+4)^7=3+4=0
逆に(7-4)^7=3となるので。。。例示はもう十分ですね。
0<=x<=6の時、
(7-x)^7=7-x
(7+x)^7-7=x
で、xそのものになります。
(2)あなたの好きな自然数を1つ決めてg(n)を求めよ。そのg(n)の値をこの設問におけるあなたの得点とする。
先に、Σの部分がどんな性質を持っているか確認してみましょう。
(1)式から、
7
f(Σ k^n)=f(n)
K=1
この自然数も0<=n<=6に制限される。
k^nも入れ子ですが、nはnなので、この制限に従わなければなりません。
さもなくば、nとは置けません。
細かいことは後回しにして、
左辺のnには、どんな自然数でもnでもと解釈出来るが、
n=xと置いた場合のxも、すべて、右辺のnと同様に制限される。
と単純に考えよう。
ともかく今は、下記関数のn(0,1,2,3,4,5,6)の内、どれが最大になるかを知りたい。
つまり以下の式です。
g(n)=3f(n)
Σの部分だけに注目しましょう。
k=1～7までですが、7^nは7で割り切るのが、(3)で分かるので、省略出来ます。
n=0の特殊な場合には必要なので、先にn=0を求めておきましょう。
単純に1が7つなので、0です。
また、1は何乗しても1なので、わざわざn乗としません。
1+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n
n=1の時は並べ替えの問題です。
(1+6)+(2+5)+(3+4)
この手順でやりましょう。
7で割って6以下にしながら計算すると、暗算とメモで十分です。
n=2 -> (1+36)+(4+25)+(9+16)=(1+1)+(4+4)+(2+2)=2+1+4=0
n=3 -> (1+36*6)+(4*2+25*5)+(9*3+16*4)=(1+6)+(1+6)+(6+1)=0+0+0=0
n=4 -> (1+36*36)+(4*4+25*25)+(9*9+16*16)=(1+1)+(2+2)+(4+4)=2+4+8=0
n=5 -> (1+36*36*6)+(4*4*2+25*25*5)+(9*9*3+16*16*4)=0+(4+3)+(5+2)=0
n=6 -> (1+36*36*36)+(4*4*4+25*25*25)+(9*9*9+16*16*16)=2+1+1+1+1=6
さて、(2)式は、g(n)=3f(6x)に置き換えることが出来ることが分かります。
わざわざ6xと置いたのには、もうひとつ解いておきたいことがあるかです。
自然数全体でも、偶数や奇数のみを選らんでも、それが序数で、順番に数えられるのなら、
無限の大きさは変わらないので、どういった自然数aがg(n)を満たすか考える。
6x=7a+6
7a=6x-6
a=6(x-1)/7
ところで、
6 の次の7を足すと、13、14を足すと20。
6の2倍は12、6の3倍は18。
差がxの等差数列なので、6+7*6b=42b+6
6でも7でも割れる保証のある数bだけが(2)式を成り立たせます。
これは、bが自然数なので、無限かつ、無限の大きさは、通常のn=1,2,3...と置いた時と変わりません。
さて、この無限を有限にしてしまうのは、(1)式のお陰ですね。
結局のところ、最大値も最小値も唯一のn=6しか存在しません。