問題はネットにある59年のやつをみてください(多分乗せたらまずいのかとおもいのせてません)
(1)からやっていきます
(1)はsin3Θ＝sin2Θという問題ですが、これをすぐに公式に頼ってしまうのはよくありません。というのもcosとsinが出てきて、式が汚くなると思ったからです。
もっと簡単に考えていきましょう。単位円を書いてsinの値が等しくなるとはどういうことかな〜と考えていくと、
sinπ/6＝sin5π/6などをすぐに思い浮かべれると思います。それを一般化すると
3Θ=2Θ+2nπ！！とやってしまうなんてミスはしないと思います。
(π-2Θもあるので、それに気をつけましょう。)
そしたらできます。
(余談;イメージとしてはどちらか一方の角度を固定して、もう一方の角度をルーレットのようにぐるぐると回して一致する時を考えていくとよいのかなと思います。)
まとめ
1公式を使った展開はぐちゃぐちゃになりそうだし、よくないな
2角度が等しいということを単位円を使って、視覚的に考えてみよう
(2)
最初に見て思ったことはmとnがsinにくっついててめんどくさそうだな..です(1)で公式を使った展開をさせなかったので、何かそのままの式を保ったまま考えるのかな？
ってかんじです。しかし、そうしてもとくにできることがありませんした。(和積は係数がm,nとあるのでダメ)
次に考えたことは右辺を頭の中で展開するとcosが出てきてしまいます。ああcosとsinか〜と思っていたのですが、両辺ともに展開してみるとsinがあることから1つ消えました。(これはnがsinから離れるので少し嬉しいなと思ってました。)
こうなればあとは楽勝です。三角方程式の一般的な考え方として種類が違うものがあれば統一したいと思うものです。cosに統一し、さらに文字tとでも置いてあげて、tの方程式が解を保つための条件を考えていけば良いですね。ただ、ここで注意しないといけないのは、文字の置き換えと範囲はセットでないといけないということです。最初のうちはこれを忘れてしまうのですが、自然にできるようにならないとまずいです。
さて、このあとはtの二次方程式が0<t<1の範囲に解をもつようなm,nの条件を考えていくということになります。
また、m,nは0以上の整数という条件も一緒に考えていかないといけないということに注意を向けながらといていくことになります。
さて、ここからはまずは二次関数のグラフを書くのと同じように平方完成をしていくのですが、ざっくりとグラフの概形を掴んでいないと、0~1に2つあるのか、1つなのか...と解の配置のめんどくさい議論をしないといけなくなります。
ざっくりとつかむというのは具体的な値を代入してみるということになります。今回で言うと,0,1を代入してみたくなるということです。(端点の値というのは解の配置の問題をといていく上でも代入するので)そして0を代入すると-n-1<0がわかります。これはめちゃくちゃ嬉しいですね。0~1に解をもつなら1つしかなく、それを満たすためには1を代入した時の値が正であればよいということです。
-2m+3>nという条件をえれました。
ここからm,nを見つけるのですが、自分はこのあとnをy,mをxとみてグラフを書きました。m,nは整数なので、その領域内にある格子点を見つけていく作業をすればおしまいです。
まとめ
1(1)の誘導を考えると展開しないでそのままやったほうがいいのかな,m,nっていう文字がsinとくっついててなんかじゃまだなあ
2展開する以外ないので、公式を使って展開をしようか。sinが消えてcosの二次方程式がでてきた！
3解の配置か...場合分けが面倒くさそうだな〜まあさきにグラフを書いておこう、0を代入すると....負になった！ってことは1つしかないから1を代入して正だったらいい
4m,nの不等式をえれたけどここからどうしようか...m,nは整数ってことはそんなに数はないはず..図示すれば早そうだ。
以上です。
一つ一つをじっくりと考えてみると解法の必然性というものが浮かび上がってきたように思えます。
また、寄り道の思考をしています(展開するのかどうかなどのことです)が、解答にはかかない部分の思考錯誤が数学では大事なように思えます。