微分方程式 1 変数分離形

ここでは常微分方程式の中でも特に変数分離形について書く。

○変数分離形の形

このように右辺を(xの関数)×(yの関数)と表すことのできるもの。

○解法
さっき示した変数分離形の形は次のようにも表せる。

さらにx関係を右に、y関係を左に整理して、積分してあげた形は

最後はこれを解くだけである。
このように途中、y,xをそれぞれ左辺、右辺へと分離するのが変数分離形の解法の特徴である。

○例1
次の微分方程式を解け。(μ≠0の定数)


解法:
  
      両辺を積分すると
  
  
  
  
よって答えは 
○例2
質量mの物体が空気中を運動するとき速度vに比例する抵抗-kvを受けるものとする。この物体が落下している時の速度vを求めよ。ただし、重力加速度をgとし、t=0ではv=0である。

解法:
  運動方程式F=maより
  
  
  
  
  
  
  
  
    とすると
  
初期条件t=0でv=0より  
よって答えは