"for fear that" は一般的な英語表現で、"〜することを恐れて"や"〜することを避けるために"という意味になります。
例文
She didn't speak out for fear that she would be criticized.
（彼女は批判されることを恐れて発言しなかった。）
I always carry an umbrella for fear that it might rain.
（雨が降ることを恐れて、常に傘を持ち歩いています。）
He didn't confront his boss for fear that he might lose his job.
（彼は仕事を失うことを恐れて、上司に直接意見しなかった。）
They kept the news a secret for fear that it would cause panic.
（それがパニックを引き起こすことを恐れて、彼らはそのニュースを秘密にした。）
for fear that doing so
"doing so" は前文や前の文の内容を指しており、文脈に応じて異なる動作や状況を指すことができます。
例文
I didn't touch his computer for fear that doing so would erase important data.
（大切なデータが消えることを恐れて、彼のコンピューターに触らなかった。）
She didn't correct the professor during the lecture for fear that doing so would make her seem arrogant.
（講義中に教授を訂正することが傲慢に見えることを恐れて、彼女はそれを避けた。）
They refrained from commenting on the controversial issue for fear that doing so would alienate their audience.
（その問題にコメントすることで観客を遠ざけることを恐れて、彼らはコメントを避けた。）
He didn't eat the unfamiliar dish for fear that doing so might upset his stomach.
（その見慣れない料理を食べると胃が痛むことを恐れて、彼はそれを食べなかった。）
このフレーズは、特定の行動を避ける動機や理由を示す場面でよく使われます。