ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は、2つの自然数a,b (a>b)に対して、

aをbで割った商がqで、余りがrのとき、つまり

 a = bq + r　・・・①

のときに、gcd(a,b) = gcd(b,r)が成立すること。

※gcd(a,b)はaとbの最大公約数を表す。

 

証明がわかりづらいので、自分なりにわかりやすく証明できればと思う。

 

証明）

(i) まず、gcd(b,r) =Gで、b = b'G, r = r'Gとおくと、①は

a = b'Gq + r'G = ( b'q +r' )G

と書ける。つまり、aも公約数にGを持つことになる。

従って、aとbは共に約数としてGを持つことになる。

よって、  g.c.d(b,r) ≦　g.c.d(a,b)であることがいえる。・・・②

 

(ii) 次に、①式を次のように変形する。

r = a - bq

ここで、gcd(a,b) =G'で、a = a'G', b = b'G'とおくと、②は

r = a'G' - b'G'q = ( a' +b'q )G

と書ける。つまり、rも公約数にG'を持つことになる。

従って、rとbは共に約数としてG'を持つことになる。

よって、  g.c.d(a,b) ≦　g.c.d(b,r)であることがいえる。・・・③

 

②、③より、　g.c.d(b,r) ≦　g.c.d(a,b)　かつ g.c.d(a,b) ≦　g.c.d(b,r)であるから、

g.c.d(a,b) = g.c.d(b,r)が示せた。

 

この辺りは、概念がわかりづらいので、

文字を上手く置き換えて理解できるといいのかなと思った。

大人の常識は子供の常識ではない

私は24歳になりますが、おそらく子供の時に自分が

どう考えていたとか、何が常識だったかなんて

忘れてしまっていると思います。

 

24年間生きてきた中で、常識を身につけ、

その常識の範囲内で振舞っているいます。

 

しかし、中学生1年生なら12年間、高校1年生なら15年間の中で、

常識を培ってきたものは、なかなか大人の社会の常識とは、

かけ離れてしまいます。

 

そもそも常識とはなんなのでしょうか。

大辞林 第三版の解説を引用しました。

 

〜じょうしき【常識】〜

ある社会で，人々の間に広く承認され，当然もっているはずの知識や判断力。 「 －では考えられない奇行」 「 －に欠ける」
 

つまり、常識とはある社会で形成されるものなので、子供の社会と、

大人の社会の常識は違っていて当然ということではないかと思いました。

 

それにもかかわらず、普通こうだよ。というのは、

子供からしたら、どこが普通なのかがわからないので、

考えようがなくなってしまうのではないかと思います。

 

１つ例をあげると、私は卓球部のコーチをさせてもらっていますが、

ある生徒はとても態度が悪いように私は感じていました。

そこで、彼に「君の態度は良くないように見えるよ」と

話したところ、「どこがそう見えるのですか」といってきた。

彼は、全くそういう意識はなかった。

しかし、私からすると人の話を聞くときに目を背けたり、

手足をぶらぶらさせてりすることは、非常に態度が悪い。

 

また、入ってきた1年生に毎年挨拶はしっかりするようにというが、

なかなかすぐにできるようにならない。

これは恐らく「しっかり挨拶する」ということが、

私の認識と彼らの認識で食い違っているからではないだろうか。

 

そこで私は、まず彼らの常識を知ることが必要だと思った。

どういうことが良いことなのか、何を考えているのかを知った上で、

大人の常識の範囲では、そのことはこんな風に改善すべきじゃないかを、

指導することが重要なのではないかと思った。

 

相手を知り、認め、指導する。一見当たり前のように感じるが、

実はかなり難しいのではないか。

相手の価値観を認め、その上で指導することは、かなり難しい。

そこには、自分の価値を持ちつつ、多くのことを受け入れる器量が必要だ。

 

教育を通して、自分も成長することができれば、

より生徒に還元していけるのではないかと思う。