早速ですが、高校1年か、2年のはじめに『3点を通る2次関数の式を求めよ 』という問題に対峙しませんでしたか？
または、これから習う方もいらっしゃると思います。
おそらく求める式を y=ax^2+bx+c と置き、それぞれ代入してa,b,cの値を出すやり方を習った（習う）と思います。そこで、今回は別のやり方で、早くこの問題を得方法を考えてみたのでご紹介したいと思います。
ほんの少しですが解答時間の短縮になると思いますので、使っていただけたらと思います。
結論から言いますと、
(1,2),(2,3),(3,5)を通る2次関数の式は
2点(1,2),(2,3)を使って、
y-(x+1)=a(x-1)(x-2)と表すことができ、
残った(3,5)を代入してaの値を出せば答えとなる式が出せます。
（左辺のx+1は、2点(1,2),(2,3)を通る直線の式です。）
なぜ成り立つかを説明するまえに、まずはこの例題を解いていただき、特徴を掴んでいただけたらと思います。
例）3点(1,2),(2,2),(3,5)を通る2次関数の式を求めよ。
この問題は2点のy座標が共通して2であるので、
のうちどちらかになることは明らかです。（図が汚くてすいません
）
） このことを式に起こすと、
y-2=a(x-1)(x-2)
となります。
これはy=a(x-1)(x-2)をy軸方向に2平行移動した式なので、y-2=a(x-1)(x-2)となります。
後は、残った(3,5)を代入してaの値を出せばいいのでa=3/2より
y-2=3/2(x-2)(x-3)
整理して、
y=3/2x^2-15/2x+11
が答えです。
では、ここで先程でてきた
y-2=a(x-1)(x-2)
という式について、
左辺のy-2の2は2点(1,2),(2,2)を通る直線の式y=2から来ていると考えることもできます。
なぜかというと、この式は、2点(1,2),(2,2)をそれぞれ代入したら成り立つはずです。
なので、x=1,2を代入したら2点(1,2),(2,2)がとれる式、つまりこの2点を通る直線の式（この場合y=2）をy-○の○部分に入れてあげれば、2点(1,2),(2,2)をそれぞれ代入したとき、両方とも左辺=0、右辺=0となるので、この式が成り立つと言えます。
これを使い、3点(1,2),(2,4),(3,7)を通る2次関数の式を考えてみます。
先程の問題と違って、共通なy座標がありません。
まず、2点を適当に選びます。では今回は
(1,2),(2,4)を選びます。
この2点を通る式は
より、y=2xです。
この2点のx座標は1と2なので、
y-2x=a(x-1)(x-2)という式が成り立ちます。
残った(3,7)を代入して、
a=1/2という値が出ます。
従って、求める2次関数の式は
y-2x=1/2(x-1)(x-2)
整理して
y=1/2x^2+1/2x+1
が答えとなります。
以上となります！
こんなに長くてわかりにくい説明を見てくださって大変嬉しく思います。
少しでも数学を勉強されてる方のタメになれれば光栄に思います。