先日，授業で次のような問題をやったので，振り返りも含めて掲載．
問題
自然数nに対して，を
を満たす自然数とする．
この式を用いて，を
未満で近似する有理数を一つ求めよ．
解説
背景にPell's Equation
(ただしDは平方数ではない自然数)
という不定方程式がある問題です．実際に今回の問いは，として，左辺を因数分解すると，
という形になり，問題の右辺よく似た形が出てきます．
さて，ここで，が成り立つことから，
が成り立つ気がプンプンしてきます．(実際に帰納法で簡単に証明可．) この2式の両辺をかけてみると，
が成り立つので，
は前述の不定方程式
の
の場合の解であることを示せます．
一方，このは
から，
という連立漸化式を満たすので，特殊解が見つかればそこから，解の集合を次から次へと無限に構築することができることがわかります．(ただし，自明な解は除く．) ここでは証明は割愛しますが，この整数列の集合がペル方程式の解の集合と完全に一致することが証明できます．この作業によって，ペル方程式の解を作り出すアルゴリズムを構築することに成功したわけです．
ところで，この連立漸化式は正の整数のなかではが単調増加列であることを表しているので，nを十分大きくとると，
の第1項と第2項は非常に大きな数になることがわかります．そのとき，当然ながら1は第1項，第2項に比べればゴミみたいなものですから，結果，
の極限においては，
すなわち，
であることが簡単に分かります．
以上のことから，の近似値を求めることが可能になります．
当然このアルゴリズムは一般化でき，特殊解，解の構造を決定づける漸化式が与えられれば，を有理数近似することが可能になります．