今回は原始ピタゴラス数(a,b,c) a<b<cにおいて
abc+bが立方数になるようなピタゴラス数は
(3,4,5)のみであると言う予想を立ててみました。
これを立方数d^3を使ってb(ac+1)=d^3と表せます。
つまりb(ac+1)=d^3,a^2+b^2=c^2をともに満たす数
が(a,b,c,d)=(3,4,5,4)のみであると言い換えれます。
1.まず(a,b,c)がピタゴラス数であることを利用して
a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2と置きました。
bが偶数である時の場合です。
これを先程の式に代入すると
2mn{(m^2+n^2)(m^2-n^2)+1}=d^3と言う形になり
ここで行き詰まってしまいました。
2.先ほどと同様に今度はbを奇数として考え
a=2mn,b=m^2-n^2,c=m^2+n^2と置きました。
これを先程の式に代入すると
(m^2-n^2){2mn(m^2+n^2)+1}と言う形になり
またしてもここで行き詰まってしまいました。
3.今度は先ほどとは逆にb(ac+1)=d^3に当てはまる数に
法則を見い出しそれかつピタゴラス数に当てはまるのが(3,4,5)のみであることを示せばいいのでは？と思い立ちましたが全く方針が立ちません。何か良い手があればご教授下さい。