自作問題2 解説
問題：
底面の円の半径が √3 である円柱C1と, 底面の正三角形の1辺の長さが 4 である正三角柱C2が, 図のように直交している. C1とC2の共通部分の体積を求めよ.
解説：
きっと諸君は本問の類題を目にしたことがあるだろう. 座標を導入して図形の方程式を立て、ある平面で切るという定石である. 平面で切る(すなわち, 変数を固定する)ときは, 「登場する回数が多い変数を固定する」とか「次数の高い変数を固定する」とかを, いわば「パターン」として教えられることだろう. 本問は, そのような「パターン」教育に対して警鐘を鳴らすことを目的として作成した. 本問の場合にこの「パターン」を適用すると, 大変な計算を強いられることとなる. 「パターン」だけに囚われない柔軟な俯瞰力を身につけたい.
解答：
図1のように xyz 座標系をとる. 図2は, y軸方向から見たものである.
C1: y^2+z^2≦3.
C2: -√3≦z≦√3(1-|x|).
平面 y=t (-√3＜t＜√3) による切り口を考える. 平面 y=t 上で
-√(3-t^2)≦z≦√(3-t^2),
-√3≦z≦√3(1-|x|)
であり, 図3のようになる.
この斜線部の面積を S(t) とすると,
S(t)=2・2√(3-t^2).
(台形と見て計算してもいいが, 横 2 , 縦 2√(3-t^2) の長方形と考えた方が楽である.)
したがって, 求める体積は,
∫[-√3→√3] S(t)dt
=4∫[-√3→√3] √(3-t^2)dt
=4・(1/2)π(√3)^2 (∵半径 √3 の半円の面積を考えた)
=6π.