解答作成日：2015年2月24日
テーマ：ガウス記号を伴う等式の証明
履修学年：なし
ガウス記号の決定的な性質は「ガウス記号内の実数の小数部分が排除される」というものです。
具体例を述べますと、
[3.4]＝3、[3.84]＝3、[20÷3]＝[6.6666…]＝6、[√5]≒[2.236]＝2、
ガウス記号内の実数が負の値の場合は、気を付けましょう。
[-3.4]＝[-4＋0.6]＝-4
つい視覚的に-3と取り違えそうですが、-3.4以下の整数で最も大きいものは-4です。
(負の値は、絶対値が大きいほど、値としては小さいので。)
本題の等式、特に右辺はいくつになるのか見通しを立て難いですよね。
しかし、xを「整数部分」と「小数部分」に分けることで、
ガウス記号によって排除される部分とガウス記号が外れても残る部分を分別しやすくなります。
しかも、右辺の分数部分がよく見ると等差数列になっています。
xの小数部分が1をn等分して区分けた範囲のうちどこに属するかによって、初めてガウス記号の整数部分が繰り上がるのが第何項かが決まり、
第何項で繰り上がるかによって、[x]と整数部分が一致する項の個数と、[x]より整数部分が1だけ大きくなる項の個数が見積もれます。
この、「xの小数部分が属する範囲を考える方法」で、左辺はもっと単純に整数部分を見積もれます。
