以前の記事の続きです。
今年出題されたカードを使った入試問題の1つです。
1から10までの数が書かれたカードが1枚ずつ、計10枚あり、聖（たかし）さんと光（ひかる）さんの2人がカードを引き、それぞれ手元に置きます。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードは区別するものとします。
たとえぱ、聖さんの手元のカードが1と2で、光さんの手元のカードが3と4である場合と、聖さんの手元のカードが3と4で、光さんの手元のカードが1と2である場合は区別します。（聖光学院2023）
⑴ 聖さん、光さんが1枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。
先に引く人のカードの選び方が10通り、後から引く人のカードの選び方はそれ以外の9通りだから 10×9＝90通り
⑵ 聖さん、光さんが2枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。
先に引く人は10枚から2枚を選ぶ選び方なので10×9÷2＝45通り。後から引く人は残り8枚から2枚を選ぶ選び方なので8×7÷2＝28通り。
これらは同時に起こるから 45×28＝1260通り
⑶ 聖さん、光さんが5枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の和が光さんの手元のカードに書かれた数の和より15だけ大きくなりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。
「1から10までの数が書かれたカード」10枚あるのでその和は55。「聖さんの手元のカードに書かれた数の和が光さんの手元のカードに書かれた数の和より15だけ大きく」なったので聖さんのカード合計は35、光さんのカード合計は20
聖さんのカード合計35の方で樹形図を書いてみると次のとおり 7通り
⑷ 聖さん、光さんが5枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の積が光さんの手元のカードに書かれた数の積の7倍になりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。
「聖さんの手元のカードに書かれた数の積が光さんの手元のカードに書かれた数の積の7倍に」なったので、聖さんのカードの積は7×□、光さんのカードの積は□と書ける。
ここで7をのぞく1から10までの積を考えてみると
1×2×3×4×5×6×8×9×10＝720×720
とちょうど720の平方数になっており□＝720
そこで聖さんはカード4枚で積が720、光さんはカード5枚で積が720となるようにする必要あるが、カードにある数の性質に注目すると次のようにカードを分けることが必要になる
- 5の倍数は10と5だけなので、10と5は違う人に行くこと（下表の黄色部分）
- 3の倍数は9、6、3があるが、9と6は違う人に行くこと（720は9×6で割り切れない）。また同じ理由で3は6とペアで同じ人に行くこと（表の赤部分）
- 2の倍数は10、8、6、4、2があるが、8と4は違う人に行くこと（表の青部分。720は8×4で割り切れない）
これらの組合せパターンはぜんぶで2×2×2＝8通りあり、表にすると次のとおり。（表の最下段は現時点での7以外の積）
あとは1と2をうまく☆に入れたらどちらも（7をのぞく）積が720になるような組合せをさがせばよい。
このうち❷❼❽は条件に合わない（☆にどのように1と2を入れても720はできない）。
それ以外の❶❸❹❺❻は☆に1と2をうまく入れると2人とも積を720にそろえることができる（＝聖さんのカードにある数の積が光さんの積の7倍になる）。
よってカードの組合せは5通り 
