以前の記事の続きです。
対角線の本数を次のような形できかれることがあります。
- 五角形の対角線は全部で何本ありますか。（上宮学園2022）
- 正六角形の対角線は全部で、□本あります。（金光学園2021）
- 六角形の対角線の本数は□本です。（トキワ松学園2022）
- 正八角形の対角線の本数は何本ありますか。（海陽中2020）
- 正八角形の対角線の本数は□本です。（関西大倉2021B）
- 八角形に引くことのできる対角線の本数を求めなさい。（城西中2020帰国）
- 十二角形の対角線は何本ありますか。（足立学園2019）
- 正二十角形の1つの頂点からひける対角線は全部で何本ですか。（多摩大附属聖ヶ丘2020第5回）
- 1つの頂点から5本の対角線が引ける正多角形があります。この正多角形の対角線は全部で□本あります。（香蘭2020）
*正解は、1(五角形)が5本、2～3(六角形)が9本、4～6(八角形)が20本、7(十二角形)が54本、8(二十角形)が170本。9は正八角形のことなのでやはり20本。
こうした一行問題を落とすのはあまりに痛く、ここで全問正解できかったようであれば、次の入試問題を利用するなどして、対角線の本数の求め方について理解を整理、再確認しておきたいところです。
次の会話文を読んで、□にあてはまる数を答えなさい。（日向学院2022）
花子さん：五角形にひける対角線の数を調べようと思うんだけど。
太郎さん：それは簡単だよ。
花子さん:どうすればいいの？
太郎さん：図で考えると、Aから引ける対角線は2本でしょ。だから、答えは2本!!
花子さん：それはちがうんじゃない？Bからも同じように引けるよ。
太郎さん：あっそうか。じゃあ、頂点の数は5個あるから2×5=10で10本だ。
花子さん：それだと、例えばAからCに引いたものと、CからAに引いたものを2回数えてない？
太郎さん：そうだね。じゃあ、10÷2=5で5本だ。
花子さん：同じように考えると、七角形にひけるの対角線の数もわかりそうだね。
太郎さん：ひとつの頂点から引ける対角線は［ア］本で、頂点の数は7個だけど、2回数えているものがあるから、［ア］×7÷2＝［イ］（本）
ア＝4、イ＝14
花子さん：すごい！じゃあ、もっと頂点の数が多い場合はどうなるのかな？
太郎さん：うーん。ひとつの頂点から引ける対角線の数は、五角形のときが2本、七角形のときが［ア］本だから、n角形のときは、n－［ウ］本引けるんじやないかな？そうすれば、n角形のときは（n－［ウ］）×n÷2（本）引けるね。
ウ＝3
花子さん：すごいきまりを見つけたね。じゃあ、十八角形に引ける対角線の数は［エ］本だね。
エ＝135
別の考え方として、たとえば同じ七角形の対角線の本数を求めるには
⓪対角線とは2つの頂点を結んだ線のこと
①7つの頂点から2つの頂点を選ぶ選び方は7×6÷2＝21通り
②これだと7つの辺も数えているのでこれを引いて14通り
というものもあります（こちらの方が実戦的かもしれません）。
いずれにせよ、ここで登場する公式「n角形の対角線の本数は (n－3)×n÷2（本）」はその場で出せるものなので暗記の必要はまったくないものといえます。
