今回は有界という概念について説明していきます。
(A,≦)を順序集合とします。Aの部分集合Mに次の関係≦(M)を定めます。
x,y∈Mを任意の元とします。x≦yの時に限りx≦(M)yとします。
この関係によって(M,≦(M))は順序関係になります。…（ア）
以降、≦(M)のことを≦と書くことにする。記号の乱用であるがAの順序と同じ意味であるから問題はないだろう。
練習問題１
上の事実（ア）を示しなさい。
（定義）
元a∈Aが下の条件を満たすとき、aをMにおける上界（または、上界）という。
（条件）任意の元x∈Mについてx≦aが成立する。
不等号の向きを逆にして下に有界を定義します。
Mの上界が存在するときMをAにおいて上に有界（または、上に有界）であるという。
同様に、Aにおいて下に有界であることも定義されます。
Mが上に有界かつ下に有界であるとき、有界であるといいます。
Mの上界全部の集合をM*と表すことにします。Mが上に有界であることはM*=∅であることと同値です。
（定義）
Mが上に有界でminM*が存在するとき、minM*をMにおける最小上界といい、supMで表す。
最小上界に関しては下が成立します。
①Mが上に有界でもsupMが存在するとは限らない。
②a=supMが存在するとする。Mの任意の元x∈Mに対してx≦aが成立する。
③a=supMが存在するとする。b∈Aとする。任意の元x∈Mに対してx≦bが成立するとき、a≦bが成立する。
（①の証明）
A=R-{√2},M=(0,√2)とすればMは上に有界だが（例えば上界として２が存在する。）M*=(√2,∞)となりminM*が存在しない。つまりsupM*が存在しない。
練習問題２
上の事実②，③を示しなさい。
maxとsupとの関係については下が成立します。
④a=supMが存在してa∈MのときmaxMが存在し、a=maxMとなる。
⑤a=maxMが存在するとき、supMが存在し、a=supMとなる。
⑥supMが存在するとしても、maxMが存在するとは限らない。
（⑥の証明）
A=R,M=(0,√2)とするとsupM=√2となるが、maxMは存在しない。
練習問題３
上の事実④，⑤を示しなさい。
次回は2つの順序集合の関係について見ていきます。
では、源義経に感謝。