今回は切片の性質について説明します。

切片の性質はとても多く選択公理⇒ツォルンの補題に非常に効いてきますので2回に分けたいと思います。

補題1

Wが整列集合でJがその部分集合とし、次の条件が満たされたとする。このとき、JはW自身またはWのある切片と一致する。

(条件)x∈Jかつy∈Wかつx<y⇒y∈J

(証明)

Jが上の条件を満たし,J≠Wとする。このとき、JがあるWの切片と一致することを示せば良い。

W-J≠ØはWの部分集合で,Wは整列集合なのでmin(W-J)=aが存在します。(a∈W-Jつまりa∉Jであることに留意する。)

このときJ=W<a>となることを示す。

x∈W<a>を任意の元とする。x<aである。

aの最小性よりx∉W-Jが成立する。

よって,x∈Jが成立する。

x∈W<a>は任意の元なのでW<a>⊆Jが成立する。

x∈Jを任意の元とする。x<aを示したい。

a≦xだと仮定する。

①x=aのとき

a=x∈Jとなるがこれはa∉Jに矛盾する。

②a<xのとき

x∈Jかつa∈Wかつa<xだから条件よりa∈J

これはa∉Jに矛盾する。したがって,x<aつまりx∈W<a>が成立する。

x∈Jは任意の元なのでJ⊆W<a>が成立する。

W<a>⊆JとJ⊆W<a>との両方が言えたのでW<a>=Jが成立する。(証明終)

次回も切片の性質について述べていきます。

では、源義経に感謝。

参考文献

・『集合・位相入門』、松坂和夫

選択公理とツォルンの補題(9回目)