難易度 ★★★★（超難関大入試レベル）
必要科目 高校数学A・場合の数
【問題】
A～Fまでの６枚のカードがあり，そのカードにX,Yの２人がそれぞれ好きな順番に１～６までの数字をカードに書く．ただし，XとYが１枚のカードに書いた数字は，同じであっても良いものとし，Xが書いた数字とYが書いた数字はそれぞれ区別できるものとする．その後，次の①～③の施行を行う．
施行①
６枚のカードからX→Y→X→Y→X→Yの順にカードを１枚ずつ取る．このとき取るカードは残っているカードのうち，自分が書いた番号で最も若い数字のカードを取る．
施行②
お互いの３枚のカードのうち，自分が持っているカードの中から，自分が書いた数字で最も若い数字のカードを選び，相手が選んだカードと交換する．
施行③
「施行②」をN回繰り返す．
問 ①の施行後のX，Yが持っているカードはそれぞれ{A,B,C},{D,E,F}とする．①～③の施行後のX，Yが持っているカードの全組み合わせをB(N)とする．ただし，持っているカードの順番は考えないものとする．
(1) N=２のときのB(N)を求めよ．★★★（大学入試レベル）
(2) N=３のときのB(N)を求めよ．★★★☆（難関大入試レベル）
(3) B(N)=20となる最小のNを求めよ．★★★★（超難関大入試レベル）
【例】N=3のとき
X，YがA～Fに書いた番号がそれぞれ
A B C D E F
X→1 2 3 4 5 6
Y→3 2 1 6 5 4
であったとする．
施行①
上の番号からX，Yが選んだカードは
１回目 XはAを選ぶ
２回目 YはCを選ぶ
３回目 XはBを選ぶ
４回目 YはFを選ぶ
５回目 XはDを選ぶ
６回目 YはEを選ぶ
よってXはA,B,Dを持ち，YはC,E,Fを持つ．
施行②，③
上の番号から交換は次のように行われる．
X←→Y
１回目 A←→C
２回目 B←→A
３回目 A←→B
よってXはB,C,Dを持ち，YはA,E,Fを持つ．