階乗(非負整数 n の階乗 factorial）Ⅵ　階乗に類似する概念・二重階乗・階乗冪

階乗(非負整数 n の階乗 factorial）Ⅴ階乗の近…

階乗に類似する概念

**二重階乗の例**
(-9)!!	= ¹⁄₁₀₅
(-7)!!	= −¹⁄₁₅
(-5)!!	= ¹⁄₃
(-3)!!	= −1
(-1)!!	= 1
0!!	= 1
1!!	= 1
2!!	= 2
3!!	= 3
4!!	= 8
5!!	= 15
6!!	= 48
7!!	= 105
8!!	= 384
9!!	= 945
10!!	= 3840
11!!	= 10395
12!!	= 46080
13!!	= 135135
14!!	= 645120
15!!	= 2027025
16!!	= 10321920
17!!	= 34459425
18!!	= 185794560
19!!	= 654729075
20!!	= 3715891200

二重階乗

詳細は「二重階乗（英語版）」を参照

階乗の類似として、二重階乗 n!! は自然数 n に対し一つ飛ばしに積を取る。二重階乗 n!! は階乗 n! の二回反復合成 (n!)! とは異なる。

{\displaystyle (2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots (2)=2^{n}n!}

{\displaystyle (2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots (1)={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}}

奇数 n = 1, 3, 5, 7, … に対する二重階乗の最初の方の値は

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, …, オンライン整数列大辞典の数列 A001147

偶数 n = 0, 2, 4, 6, 8, … に対する二重階乗の値の最初の方は

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, … オンライン整数列大辞典の数列 A000165

で与えられる。

負の奇数にも拡張される（{\displaystyle \left(-(2n+1)\right)!!={(-1)^{n}}/{(2n-1)!!}} ）。また、複素数値への拡張として、以下が知られている^[16]。

{\displaystyle z!!={2}^{\left[1+2z-\cos(\pi z)\right]/4}{\pi }^{\left[\cos(\pi z)-1\right]/4}\Gamma \left(1+{\frac {1}{2}}z\right)}

多重階乗

より一般に多重階乗 (multifactorial) は、連続した整数の積である通常の階乗 n!、一つ飛ばしの積である二重階乗 n!!、二つ飛ばしの積である三重階乗 n!!! または n!₃、三つ飛ばしの四重階乗 n!!!! または n!₄ などを総称して言う。一般の k-重階乗 n!_k は正整数 n に関して帰納的に

{\displaystyle n!_{k}={\begin{cases}n&{\text{if }}0\leq n<k;\\n\,\left((n-k)!_{k}\right)&{\text{if }}n\geq k\end{cases}}}

と定義できる。

これとは異なる多重階乗の定義として

{\displaystyle z!^{(k)}=z(z-k)\cdots (k+1)=k^{(z-1)/k}\left({\frac {z}{k}}\right)\left({\frac {z-k}{k}}\right)\cdots \left({\frac {k+1}{k}}\right)=k^{(z-1)/k}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{k}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)}}\,.}

とするものもある。

階乗冪

詳細は「階乗冪」を参照

自然数 n, k に対して、n の k-順列の総数 n^k は n から始めて上から k 個の連続する整数の積を取る（ある意味で不完全な階乗とも呼べる）階乗の類似物であった。これを下降階乗冪と呼ぶ。その反対に n から始めて下から k 個の連続する整数の積をとったもの n^k を上昇階乗冪といい、これら二つを総称して階乗冪と呼ぶ。ただし一般に自然数に限らず（実数や複素数などに値をとる）x を変数として