ABC予想Ⅰ前半【超絶重要６京円】
コンピューティングによる成果
2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステムのABC@Homeプロジェクトを立ち上げた。たとえ発見された例または反例が abc予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。
q は上記で定義した abc-triple (a, b, c) の質 q(a, b, c) である。このとき、c の上限によって、質 q は以下のような分布を取る。
| q > 1 | q > 1.05 | q > 1.1 | q > 1.2 | q > 1.3 | q > 1.4 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| c < 102 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| c < 103 | 31 | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
| c < 104 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
| c < 105 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
| c < 106 | 1,268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
| c < 107 | 3,499 | 1,669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
| c < 108 | 8,987 | 3,869 | 1,801 | 384 | 98 | 25 |
| c < 109 | 22,316 | 8,742 | 3,693 | 706 | 144 | 34 |
| c < 1010 | 51,677 | 18,233 | 7,035 | 1,159 | 218 | 51 |
| c < 1011 | 116,978 | 37,612 | 13,266 | 1,947 | 327 | 64 |
| c < 1012 | 252,856 | 73,714 | 23,773 | 3,028 | 455 | 74 |
| c < 1013 | 528,275 | 139,762 | 41,438 | 4,519 | 599 | 84 |
| c < 1014 | 1,075,319 | 258,168 | 70,047 | 6,665 | 769 | 98 |
| c < 1015 | 2,131,671 | 463,446 | 115,041 | 9,497 | 998 | 112 |
| c < 1016 | 4,119,410 | 812,499 | 184,727 | 13,118 | 1,232 | 126 |
| c < 1017 | 7,801,334 | 1,396,909 | 290,965 | 17,890 | 1,530 | 143 |
| c < 1018 | 14,482,059 | 2,352,105 | 449,194 | 24,013 | 1,843 | 160 |
2012年9現在、ABC@Homeは2,310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 1020 を超えない c についての全ての abc-triple (a, b, c) を見つけることとしている。
| q | a | b | c | Discovered by | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.6299 | 2 | 310·109 | 235 | Eric Reyssat |
| 2 | 1.6260 | 112 | 32·56·73 | 221·23 | Benne de Weger |
| 3 | 1.6235 | 19·1307 | 7·292·318 | 28·322·54 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski |
| 4 | 1.5808 | 283 | 511·132 | 28·38·173 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj |
| 5 | 1.5679 | 1 | 2·37 | 54·7 | Benne de Weger |
証明
2012年8月30日、京都大学数理解析研究所教授の望月新一が abc予想を証明する論文をインターネット上に公開した。イギリスの科学誌ネイチャーは、同教授は新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開しているため「査読に時間がかかるだろう」と報じた。証明に用いた新たな手法（宇宙際タイヒミュラー理論）は他の整数論の問題を解く強力な道具になると期待されている。
それらの論文について、2012年10月に Vesselin Dimitrov とアクシェイ・ヴェンカテシュ（英語版）により誤りが指摘されたが、望月は指摘を認めつつ本質的結果は影響されないとコメントし、訂正を約束した。以後、同年12月より指摘事項の修正や他の校正等を含む一連の訂正版論文を発表している。
2015年、Ivan Fesenko(en)によって、望月の宇宙際タイヒミューラー理論に対する初のサーベイ論文である「Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki」が発表された。
脚注
^ a b Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). “Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.” (PDF). Working Paper 2012年9月18日閲覧。.
^ a b Ball, Phillip (10 September 2012), “Proof claimed for deep connection between primes”, Nature.
^ Cipra, Barry (September 12, 2012), “ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot”, Science
^ http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf
^ “Synthese resultaten”, RekenMeeMetABC,nl 2011年1月1日閲覧。 （オランダ語）,[リンク切れ]
^ “Data collected sofar”, ABC@Home 2012年9月10日閲覧。
^ “Bart de Smit / ABC triples / by quality”. Reken mee met ABC (2005年8月1日). 2016年7月3日閲覧。
^ a b “望月新一の最新情報”. 京都大学数理解析研究所望月研究室 (2012年8月30日). 2012年9月18日閲覧。
^ Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). “Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters.” (PDF). Working Paper 2012年9月18日閲覧。.
^ Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). “Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.” (PDF). Working Paper 2012年9月18日閲覧。.
^ Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). “Inter-universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.” (PDF). Working Paper 2012年9月18日閲覧。.
^ a b “数学の難問「ＡＢＣ予想」、京大教授が解明か”. 共同通信社. 日本経済新聞. (2012年9月18日) 2012年9月18日閲覧。
^ この議論の発端は、MathOverflowの記事 Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture である
^ Kevin Hartnett (2012年11月3日). “An ABC proof too tough even for mathematicians”. Boston Globe
^ Ivan Fesenko. (2015) "Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki."
参考文献
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関連文献
黒川信重 「付録 数論の有名な予想のいくつか (1)abc予想」『リーマン予想の探求 ABCからZまで』 技術評論社〈知りたい！サイエンス 118〉、2012年11月30日。ISBN 978-4-7741-5388-9。
黒川信重、小山信也 『ABC予想入門』 PHP研究所〈PHPサイエンス・ワールド新書 067〉、2013年3月18日。ISBN 978-4-569-81067-6。
黒川信重、小島寛之 対談 『21世紀の新しい数学 絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学 ABC予想の先を語り尽くす白熱の10時間』 技術評論社〈知の扉シリーズ〉、2013年7月23日。ISBN 978-4-7741-5829-7。
S・ラング 「Lecture II abc 予想」『ラング数学を語る』 細川尋史 訳、シュプリンガー・ジャパン〈シュプリンガー数学リーディングス 第16巻〉、2009年10月。ISBN 978-4-431-70908-4。
S・ラング 「Lecture II abc 予想」『ラング数学を語る』 細川尋史 訳、丸善出版〈シュプリンガー数学リーディングス 第16巻〉、2009年10月。ISBN 978-4-621-06204-3。
関連項目
外部リンク
- 知恵蔵2013『ABC予想』 - コトバンク
- Weisstein, Eric W. "abc Conjecture". MathWorld（英語）.
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