今回はArthur Benjaminによる"The magic of Fibonacci numbers"を取り上げます。
要約＆掘り下げは次回します。
スクリプト(英和ともに公式HPのものを使用)
要約＆掘り下げは次回します。
スクリプト(英和ともに公式HPのものを使用)
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
なぜ数学を学ぶのでしょうか？ 本質的には３つの理由があります。 計算するため 応用するため そして 発想に時間をかけないのは 残念なことですが・・・ 発想するためです。
※application：①応用 ②申し込み、志願
in terms of：～に関して
なぜ数学を学ぶのでしょうか？ 本質的には３つの理由があります。 計算するため 応用するため そして 発想に時間をかけないのは 残念なことですが・・・ 発想するためです。
※application：①応用 ②申し込み、志願
in terms of：～に関して
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test.
数学とはパターンの科学です。 ここから論理的 批判的 創造的な 考え方を学べるのです。 一方 学校で習う数学は 効果的に意欲を 高めているとは言えません。 数学を勉強する理由を 生徒がたずねても 授業で いつか使うからとか テストに出るからと 言われることも多いのです。
※upcoming：近づいている、起ころうとしている
But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
数学とはパターンの科学です。 ここから論理的 批判的 創造的な 考え方を学べるのです。 一方 学校で習う数学は 効果的に意欲を 高めているとは言えません。 数学を勉強する理由を 生徒がたずねても 授業で いつか使うからとか テストに出るからと 言われることも多いのです。
※upcoming：近づいている、起ころうとしている
But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
でも 時々でいいから 面白くて美しくて ワクワクするから 数学を学ぶという 機会がもてたら 素敵だと思いませんか？ でも そんな機会の作り方が わからないという 声も聞きます。 そこで私のお気に入りの数から ちょっとした例を挙げましょう フィボナッチ数です。 （拍手）
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
ここにもフィボナッチ・ ファンがいますね。 素晴らしい。
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today.
この数列はいろいろな角度から 楽しむことができます。 計算の面では わかりやすい数列です。 1足す1は2で 1足す2で3 2足す3で5 3足す5で8と 続きます。 「フィボナッチ」の本名は ピサのレオナルドです。 彼の著書『算盤の書』で この数列が紹介されました。 現在使われる計算方法は この本を通して 西洋世界に伝わりました。
※arithmetic：①算数 ②計算
In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
応用の点から言うと フィボナッチ数は 自然界にあふれています。 花びらの数は普通 フィボナッチ数です。 ひまわりの花や パイナップルに見られる らせんの数も フィボナッチ数が多いです。
※petal：花弁、花びら
この数列はいろいろな角度から 楽しむことができます。 計算の面では わかりやすい数列です。 1足す1は2で 1足す2で3 2足す3で5 3足す5で8と 続きます。 「フィボナッチ」の本名は ピサのレオナルドです。 彼の著書『算盤の書』で この数列が紹介されました。 現在使われる計算方法は この本を通して 西洋世界に伝わりました。
※arithmetic：①算数 ②計算
In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
応用の点から言うと フィボナッチ数は 自然界にあふれています。 花びらの数は普通 フィボナッチ数です。 ひまわりの花や パイナップルに見られる らせんの数も フィボナッチ数が多いです。
※petal：花弁、花びら
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
この数は さらに いろいろなものに見出せます。 ただ最も想像力を かき立てられるのは この数列の美しい規則性です。 お気に入りを一つ紹介します。 平方数は 皆さん お好きですよね？ （笑）
この数は さらに いろいろなものに見出せます。 ただ最も想像力を かき立てられるのは この数列の美しい規則性です。 お気に入りを一つ紹介します。 平方数は 皆さん お好きですよね？ （笑）
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
フィボナッチ数の最初のいくつかを それぞれ 2乗してみましょう。 1の2乗は1 2の2乗は4 3の2乗は9 5の2乗は25と続きます。 さて 連続するフィボナッチ数を 加えると次の数を得ることが できますよね。 そういう作り方ですから。 でも 2乗した数 同士を 加えても何も 起こらないと思うでしょう。 でも ご覧ください 1+1=2 1+4 =5 4+9=13 9+25=34 になり このパターンが続くのです。
※consecutive：連続的な、論理的に一貫した
フィボナッチ数の最初のいくつかを それぞれ 2乗してみましょう。 1の2乗は1 2の2乗は4 3の2乗は9 5の2乗は25と続きます。 さて 連続するフィボナッチ数を 加えると次の数を得ることが できますよね。 そういう作り方ですから。 でも 2乗した数 同士を 加えても何も 起こらないと思うでしょう。 でも ご覧ください 1+1=2 1+4 =5 4+9=13 9+25=34 になり このパターンが続くのです。
※consecutive：連続的な、論理的に一貫した
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
実は もう一つあります。 フィボナッチ数を2乗したものを 最初から足していってみましょう。 どうなるでしょうか。 1+1+4=6 です。 これに 9を加えると15になります。 25を加えると40に 64を加えると104になります。 出てきた数を調べましょう。 フィボナッチ数には なっていませんが よく見ると フィボナッチ数が 隠れていますよ。
実は もう一つあります。 フィボナッチ数を2乗したものを 最初から足していってみましょう。 どうなるでしょうか。 1+1+4=6 です。 これに 9を加えると15になります。 25を加えると40に 64を加えると104になります。 出てきた数を調べましょう。 フィボナッチ数には なっていませんが よく見ると フィボナッチ数が 隠れていますよ。
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
わかりますか？ ご覧に入れましょう。 6=2x3 15=3x5 40=5x8 です。 2 3 5 8 ・・・ わかりますか？
(Laughter)
（笑）
Fibonacci! Of course.
フィボナッチ数ですよね！
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
さて こんな規則性を 見つけるのは面白いですが なぜそうなるかを理解すれば さらに楽しくなります。 一番下の方程式を見てください。 なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になるのでしょうか？ 簡単な図で示します。 1 x 1 の正方形から始めて 隣に 1 x 1 の正方形を置きます。 合わせると 1 x 2 の 長方形ができます。 その下に 2 x 2 の正方形 隣に 3 x 3 の正方形を置き また下に 5 x 5 の正方形 隣に 8 x 8 の正方形を置くと 大きな長方形が出来ます。
※rectangle：長方形
さて こんな規則性を 見つけるのは面白いですが なぜそうなるかを理解すれば さらに楽しくなります。 一番下の方程式を見てください。 なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になるのでしょうか？ 簡単な図で示します。 1 x 1 の正方形から始めて 隣に 1 x 1 の正方形を置きます。 合わせると 1 x 2 の 長方形ができます。 その下に 2 x 2 の正方形 隣に 3 x 3 の正方形を置き また下に 5 x 5 の正方形 隣に 8 x 8 の正方形を置くと 大きな長方形が出来ます。
※rectangle：長方形
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
さて 簡単な質問をしましょう 長方形の面積は？ 一つのやり方は 面積は正方形の面積の 合計ですね。 そう作ったのですから。 1の2乗プラス 1の2乗プラス 2の2乗プラス 3の2乗プラス 5の2乗プラス 8の2乗ですよね。 これが面積です。 一方 これは長方形ですから 面積は たて x よこ です。 たては 8ですね。 よこは 5 + 8 なので 次のフィナボッチ数である 13です。 だから面積は 8 x 13 です。 面積を２種類の方法で 計算できました。 結果はお互いに同じなので 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になると言えるのです。
さて 簡単な質問をしましょう 長方形の面積は？ 一つのやり方は 面積は正方形の面積の 合計ですね。 そう作ったのですから。 1の2乗プラス 1の2乗プラス 2の2乗プラス 3の2乗プラス 5の2乗プラス 8の2乗ですよね。 これが面積です。 一方 これは長方形ですから 面積は たて x よこ です。 たては 8ですね。 よこは 5 + 8 なので 次のフィナボッチ数である 13です。 だから面積は 8 x 13 です。 面積を２種類の方法で 計算できました。 結果はお互いに同じなので 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になると言えるのです。
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
さて このプロセスを続けると 13x21や 21x34といった長方形を 作り続けることができます。
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
では今度は 13を 8で割ってみると 1.625になります。 大きい方の数を 小さい方の数で割ると その結果は次第に およそ 1.618に近づいていきます。 この数こそ「黄金比」と 呼ばれる比率です。 多くの数学者 科学者 芸術家達を 何世紀もの間 魅了してきた数です。
では今度は 13を 8で割ってみると 1.625になります。 大きい方の数を 小さい方の数で割ると その結果は次第に およそ 1.618に近づいていきます。 この数こそ「黄金比」と 呼ばれる比率です。 多くの数学者 科学者 芸術家達を 何世紀もの間 魅了してきた数です。
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
今回 この題材を取り上げた理由は 数学の大半がそうであるように 美しい部分があるからです。 ただ学校で このような美は あまり注目されません。 計算の仕方は 長い期間をかけて学びますが 実際に応用することを 忘れてはいけません。 とりわけ重要なのは 考え方を学ぶ時に 数学を応用することです。
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
一言でまとめるとすれば こうなるでしょう 「数学とは xの解を 求めるだけでなく 理由 “why” を 解明する学問である」
※figure out：①解決する ②計算して合計を出す
※figure out：①解決する ②計算して合計を出す
Thank you very much.
(Applause)