ある商品が全国に行き渡ってしまい新規顧客獲得が無理になると買い替えの需要だけになる
さてその場合、年間に売れる個数は現在でている全個数nをその製品の平均寿命T(年)で割ったものSになると普通には考えられる。
これは寿命が等しい場合は正しいが、ばらつきがあると違ってくる
個々の寿命を a[i] (i=,1,2, ,n) とすると
T=Σa[i]/n
S=n/T=n*n/Σa[i]
寿命 a[i] の製品が今年壊れる確率は 1/a[i]
よって今年買い換える個数の期待値Kは
K=Σ(1/a[i]) != S
となってしまう
実はここで K>=S が成立することがわかった。等号条件は a[1]=a[2]=,,,=a[n]
この証明は中々ややこしい
数学的帰納法で証明する
n=1 なら K=1/a[1]=S となり成立
n-1 で成立するとする
Σ(1/a[i]) {i=1,,,n-1} >= (n-1)^2/Σa[i] {i=1,,,n-1} ・・・①
n の時
K-S= Σ(1/a[i]) {i=1,,,n} - n^2/Σa[i] {i=1,,,n}
= Σ(1/a[i]) {i=1,,,n-1} + 1/a[n] - n^2/Σa[i] {i=1,,,n}
①を代入して
>=(n-1)^2/Σa[i] {i=1,,,n-1} + 1/a[n] - n^2/Σa[i] {i=1,,,n}
= A/(a[n]*Σa[i] {i=1,,,n-1} *Σa[i] {i=1,,,n} )
とおく。ここで
A = a[n]{ (n-1)^2Σa[i] {i=1,,,n} - n^2Σa[i] {i=1,,,n-1} } + Σa[i] {i=1,,,n-1} * Σa[i] {i=1,,,n}
であるが
A = a[n]{ (-2n+1)Σa[i] {i=1,,,n-1} + (n-1)^2*a[n] } + Σa[i] {i=1,,,n-1} * Σa[i] {i=1,,,n}
= (n-1)^2*a[n]^2-2(n-1)a[n]Σa[i] {i=1,,,n-1} + (Σa[i] {i=1,,,n-1})^2
= {Σa[i] {i=1,,,n-1}-(n-1)a[n] }^2
>=0
となる
等号条件は a[1]=,,,=a[n-1] かつ Σa[i] {i=1,,,n-1}/(n-1) = a[n] の時
つまり
a[1]=,,,=a[n] となり証明が終わる