本当に大学行くつもりあるの？とあきれられている理系高校生必見！

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【重要】高校数学のスヽメ｜微分篇（3）

どうも，がんちゃんです。

微分篇の第３回目

今回は

微分係数

について紹介していきます。

今回も簡単な問題を用意いるので

紙，シャープペン，電卓を用意して

読み進めてください！

〇微分係数とは

まずは，前回の練習問題の

（2）について考えます。

(2)　 $x$ が $3$ から $3+h$ まで変化するため，

（2.2）式より

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$

$f(x)=x^2$ であることから

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{(3+h)^2-3^2}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{(9+6h+h^2)-9}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{6h+h^2}{h}$

$=6+h$ 　　(Ans.)

さて， $6+h$ について，

$h$ の値を限りなく $0$ に近づけてみると，

$6$ に限りなく近づきます。

ここまでよろしいでしょうか？

この $6$ を，

$h$ を限りなく $0$ に近づけたときの

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{(3+h)^2-3^2}{h}$

の極限値

といいます。

そして，これを

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}=6$

というように表します（ $https://latex.codecogs.com/svg.image? \displaystyle \lim$ はリミットと読みます）。

極限については，数Ⅲで

詳しく扱うことになります。

そして，一般に

関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ から $a+h$ まで

変化するときの平均変化率において，

$h$ の値を限りなく $0$ に近づけるときの極限値

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

が定まるとき，この値を

関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数

といい， $f' (a)$ で表します。

これが今日の最重要ポイントです。

微分係数は

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}f'(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ 　・・・（2.3）

と定義される。

さて，下に表している

関数 $y=f(x)$ のグラフにおいて，

$x$ 座標がそれぞれ $a$ ， $a+h$ である

2点 $A$ ， $B$ について考えると，

平均変化率

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

は，直線 $A$ $B$ の傾きを表しているといえます。

したがって，

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}h}$ の値を限りなく $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}0}$ に近づけると，

点 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}B}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}(a+h,~f(a+h))}$ は

点 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}A}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}(a,~f(a))}$ に限りなく近づきます。

ここまでよろしいでしょうか？

あやふやな点があれば

読み返して見てくださいね。

では，次に進みます。

平均変化率というのは

点 $A$ から点 $B$ の

変化量の割合

すなわち，

2点 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}A}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}B}$ 間の傾きを

表しているもの

でしたね。

$h$ の値を限りなく $0$ に

近づけるというのは，

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$

で表されます。

そして先程紹介したように，

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}h}$ の値を限りなく $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}0}$ に近づけると，

点 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}B}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}(a+h,~f(a+h))}$ は

点 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}A}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}(a,~f(a))}$ に限りなく近づきますので，

$h$ の値を限りなく $0$ に

近づけると，直線 $A$ $B$ は

点 $A$ を通り傾き $f' (a)$ の直線 $A$ $T$ に

限りなく近づくことになります。

この直線 $A$ $T$ を点 $A$ における

曲線 $y=f(x)$ の接線といい，

点 $A$ を接点といいます。

すると，次のことが成り立ちます。

曲線 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}y=f(x) }$ 上の点 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}(a,~f(a)) }$

における接線の傾きは，

微分係数 $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}f'(a)}$ に等しい。

なんと微分係数を求めることが，

曲線の接線を求めることと

同じ意味を持つんですね。

では，練習問題です。

〇放物線 $y=x^2$ 上の点（2，4）における

接線の傾きを求めよ。

　　　・

それでは解説です。

放物線 $y=x^2$ 上の点（2，4）

における接線の傾きは，

$f(x)=x^2$ とすると， $f'(2)$ に等しいため

(2.3)式より，

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(2)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$

　　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}$

　　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(4+4h+h^2)-4}{h}$

　　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h}$

　　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?=\displaystyle \lim_{h\to 0}(4+h)$

　　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?=\displaystyle 4$

したがって，放物線 $y=x^2$ の

接線の傾きは，4　　(Ans.)

・放物線の式

・ $x$ 座標

の2つさえ分かっていれば，

接線の傾きを求めることが

できるんですね。

説明を聞いて分かった気になっていても，

何も見ず問題を解こうとすると

あやふやな点が出てくるのが

勉強の落とし穴です。

もし理解できていないところがあれば

読み返したり，あなたが持っている

教科書や参考書を確認して

十分に身につけていってください！

さっそく

教科書の例題にも

取り組んでいきましょう！

それでは。

ARIGATO☆がんちゃん

【重要】高校数学のスヽメ｜微分篇（2）

どうも，がんちゃんです。

微分篇の第２回目

今回は

平均変化率

について紹介していきます。

今回も簡単な問題を用意いるので

紙，シャープペン，電卓を用意して

読み進めてください！

〇平均変化率とは

一般に，関数 $y=f(x)$ において， $x$ が

$a$ から $b$ まで変化するとき，

下のグラフからも分かる通り

$x$ の変化量は　 $b-a$

$y$ の変化量は　 $f(b)-f(a)$

となります。

小・中学生の頃に習った

変化の割合（＝傾き）は，

$y$ の増加量 / $x$ の増加量

でしたね。

ここでも同じように，

変化量の割合というのは

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}y}$ の変化量 / $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}x}$ の変化量

で表されます。

この変化量の割合を

平均変化率

というんですね。

さて，

$x$ の変化量は　 $b-a$

$y$ の変化量は　 $f(b)-f(a)$

でした。

そのため，平均変化率は

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 　・・・（2.1）

と表されます。

このままでは少し格好が悪いので，

$x$ の変化量を $h$ と置き換えてみましょう。

つまり，

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Red}b-a=h}$

と置き換えます。

すると，

$b=a+h$ となり，

$https://latex.codecogs.com/svg.image? {\color{Red}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

が導出されます。

したがって，

平均変化率について

$x$ が $a$ から $a+h$ まで

変化するとき，関数 $f(x)$ の

平均変化率は

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 　・・・（2.2）

である

というものが成り立ちます。

それではここでお待ちかねの

練習問題です。

〇 $f(x)=x^2$ において，次の場合における

平均変化率を求めよ。

(1) $x$ が $3$ から $5$ まで変化するとき

(2) $x$ が $3$ から $3+h$ まで変化するとき

　　　・

それでは解説をしていきます。

(1)　 $x$ が $3$ から $5$ まで変化するため，

（2.1）式より

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{f(5)-f(2)}{5-3}$

$f(x)=x^2$ であることから

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{5^2-2^2}{3}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{25-4}{3}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{21}{3}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\=7$ 　　(Ans.)

(2)　 $x$ が $3$ から $3+h$ まで変化するため，

（2.2）式より

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$

$f(x)=x^2$ であることから

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{(3+h)^2-3^2}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{(9+6h+h^2)-9}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{6h+h^2}{h}$

$=6+h$ 　　(Ans.)

簡単でしたね。

次回はこの平均変化率を用いた

微分係数

接線の傾きの求め方

を紹介していきますので，しっかりと

復習しておきましょう！

さっそく

教科書の例題にも

取り組んでいきましょう！

それでは。

ARIGATO☆がんちゃん

速度 $v$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? [\textrm{m}/\textrm{s}]$ ，初速度 $v_0$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? [\textrm{m}/\textrm{s}]$ ，加速度 $a$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? [\textrm{m}/\textrm{s}^2]$

距離 $x$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? [\textrm{m}]$ ，時間 $t$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? [\textrm{s}]$

とすると，

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\v = v_{0}+at \\ \\x = v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2} \\ \\v^{2}-v_{0}^{2} = 2ax$

でしたね。

今回使う公式は真ん中の

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x = v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}$ 　ー①

です。

2.　導出

①式について

初速度 $v_0=0$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? \textrm{m}/\textrm{s}$ ，

加速度 $a$ は

重力加速度 $https://latex.codecogs.com/svg.image?g\approx9.8$ $https://latex.codecogs.com/svg.image? \textrm{m}/\textrm{s}^2$ 　

であることを適用すると

※ $https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx$ と $https://latex.codecogs.com/svg.image?\fallingdotseq$ は同じ意味です。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x = \dfrac{1}{2}gt^{2}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx \dfrac{1}{2}\times 9.8\times t^2$

　 $=4.9t^2$

このようにして導出しました。

【重要】高校数学のスヽメ｜微分篇（1）

どうも，がんちゃんです。

今回は

微分篇の第１回目

ということでまずは

微分とは何か？

という導入部分ところから

紹介していきます。

簡単な課題を用意してみたので

紙，シャープペン，電卓を用意して

読み進めてください！

まだ微分を習っていない

微分を習ったけどさっぱり分からない

そもそも微分って何なの？

という方はぜひ参考にしてみてください。

〇微分とは

微分とは，全体の大きな変化の流れがある中で

そのうちの一瞬の変化を見ることを言います。

自由落下で考えてみましょう。

東京スカイツリーの頂上，高さ634mから

リンゴを落とすとすると，地面に到達する

ときの速さはどのくらいでしょうか？

※空気抵抗は考えないこととします

ex.01

リンゴが落下するとき，

落ち始めてから $t$ 秒間に

落ちる距離を $x$ [m] とすると，

$x=4.9t^2$ 　-①

という関係があります。

①式の導出方法

$x$ にスカイツリーの高さ634ｍを代入すると，

634ｍ落ちるのにかかる時間は

およそ11.4秒であることが分かります。

平均の速さは，

進んだ距離 $x$ [m] /かかった時間 $t$ [s]

で求められます。

そこで，

$x=4.9t^2$ 　-①

を $x$ に代入します。

この式で，

かかった時間の幅を

限りなく小さくしていくと

平均の速さは，瞬間の速さに

近づいていくんですね。

では，次の手順に沿って

時間の幅を小さくしていくときの

平均の速さを求め，11.4秒後の

瞬間の速さを考えてみましょう。

穴埋め問題にしてみました。

答えは1番最後に書いておくので

一緒に解いていきましょう。

STEP1.　0秒後～11.4秒後

時間の幅は11.4秒間ですね。

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4.9\times 11.4^2~-~4.9\times 0^2}{11.4-0}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx \frac{637}{11.4}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx 55.9~\textrm{m/s}$

※有効数字の関係で時間を11.4秒としているため

計算結果は634ｍではなく637ｍと誤差が出ています。

STEP2.　6.4秒後～11.4秒後

時間の幅を5秒間まで小さくしました。

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4.9\times 11.4^2~-~4.9\times [~\textrm{A}~]^2}{11.4-[~\textrm{A}~]}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx [~\textrm{B}~]~\textrm{m/s}$

STEP3.　10.4秒後～11.4秒後

時間の幅は1秒間です。

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4.9\times 11.4^2~-~4.9\times [~\textrm{C}~]^2}{11.4-[~\textrm{C}~]}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx [~\textrm{D}~]~\textrm{m/s}$

STEP4.　11.3秒後～11.4秒後

時間の幅は0.1秒間です。

　 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4.9\times 11.4^2~-~4.9\times [~\textrm{E}~]^2}{11.4-[~\textrm{E}~]}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\approx [~\textrm{F}~]~\textrm{m/s}$

***答え*****************

A：6.4　B：87

C：10.4　D：107

E：11.3　F：111

※赤文字の部分は

どこを四捨五入するかで

答えが若干変わってきます。

多少の誤差があってもOKです。

***********************

実際には，空気抵抗を無視した場合，

リンゴを落としてから11.4秒後の

瞬間の速さは111.72 m/s，

およそ400 km/hにもなります。

時間の幅を小さくすることで，

瞬間の速さに近い値を求めることが

できるということが分かったかと思います。

すなわち，

時間の幅を限りなく0に近づけたとき，

その点における瞬間の速さを

求めることができる

というワケです。

この操作を一般化して

数式で表現したものが

微分なんですね。

微分とは，全体の大きな変化の流れがある中で

そのうちの一瞬の変化を見ることでした。

$x=4.9t^2$ 　という関係式で変化するよ

という全体の大きな流れから

瞬間の速さ，すなわち一瞬の変化を

見ることができました。

次回はようやく

微分の内容に入っていきます。

共通テストでも

微分がどういうものなのか

理解できているかが問われた問題が

出題されています。

重要でなさそうに見えて

意外と重要な微分のポイント。

少し重たい内容だったので

演習の合間に何度か読み返して

落とし込んでいってください。

さっそく

教科書の例題にも

取り組んでいきましょう！

それでは。

ARIGATO☆がんちゃん

志望校選択の極意｜後悔しないための5つのポイント(後篇)

どうも，がんちゃんです。

前回に引き続き，

志望校選択の極意について

残る4つのポイントを

解説していきます。

志望校の選び方には

いくつか方法はありますし

学費を出してくれる

親御さんの意向もあるでしょう。

しかし，進んだ先で勉強するのは

紛れもなくあなた自身です。

行きたいという意思表示に加え

相応の勉強をするなど

行動で示しつつ，親子で

十分に相談していきましょう。

志望校の選び方

1.研究したいことで選ぶ

2.研究の幅広さで選ぶ

3.先生で選ぶ

4.名前で選ぶ

5.場所で選ぶ

2.研究の幅広さで選ぶ

やりたいことが明確でないまま

進学する人も多いと思いますが

そのような人は

幅広くいろんな研究ができる

大学を選ぶのも1つの手段です。

ある程度専門科目を学んでからでないと

具体的に何が自分に向いているのか

何に自分が興味を持つのか

明確にすることは難しいでしょう。

目標というのは早く定めておいた方が

それに向けた努力はしやすくなります。

単に高校レベルの内容で

大学で学ぶような

専門性に特化した内容についての

適正を知ることは困難ですよね。

そんな方は

・研究の分野が幅広い

・2年次以降で学科やコースといった

　方向性を選択できる

と言う観点から選んでみるのも

良いかもしれません。

3.先生で選ぶ

これは研究したいことで

選ぶことに若干似ていますが，

自分の興味のある分野の

第一人者であったり，

「この先生と議論したい」

と思える先生がいる大学を

選択するのも1つの手段です。

客員教授として有名な講師を

招いている大学もあります。

4.名前で選ぶ

正直言って，これは

あまりおすすめしません。

学習したいこと・研究したいこと

ではなく，例えば東大や京大

早稲田や慶応などの

名前だけで選んだとして

本当に自分が勉強したいことが

勉強できると，自身をもって

断言することができるでしょうか？

もちろん，断言できるのであれば良いです。

名前で選んではいけない

というわけではありませんし，

実際に今でも就活において

学歴が見られることは事実です。

有名企業だから社員を大切に

しているとは限らないので

就活自体も企業の名前だけで選ぶことは

おすすめできません。

オープンキャンパスに参加するのと同様，

インターンシップなどに参加して

実際に職場の雰囲気を見ることを

おすすめします。

一番怖いのは，名前で選んだ後。

合格した時点で燃え尽きたり，

講義について行けなくなったり。

そのまま講義に出席しなくなり

留年や退学を選択してしまう

恐れがあります。

せっかくの努力や

親御さんの協力・期待に

背くことになりかねません。

名前で選んだ後，やりたいことで

絞り込む，といった選び方であれば

それは全然OKです。

目標が定まらないから

とりあえずレベルの高い

大学を目指しておく，などですね。

一方で重要なのは

「どの大学に入るか」

ではなく

「大学で何をするか」

です。

目標と目的を

混同しないようにしましょう。

5.場所で選ぶ

例えばですが

・日本の中心地である東京

・研究したいことに関連する

　最先端の施設や企業がある都道府県

・実家に電車一本で帰宅できる場所

などですね。

自分が求め得る条件をクリアした

大学が複数あった場合には

このあたりの影響が大きいのかなと

思います。

前後篇に分かれましたが

以上，志望校を選ぶポイント5つ

1.研究したいことで選ぶ

2.先生で選ぶ

3.名前で選ぶ

4.研究の幅広さで選ぶ

5.場所で選ぶ

でした。

もちろん，勉強したり

いろんな情報に触れる中で

志望校が変わることは

僕は全然ＯＫだと思います。

あくまで現時点で良いので

目指すべき志望校を定めて

おいた方が良いですね。

なぜなら

人間，目標が定まらない状態で

長期間努力を続けるのは

めちゃくちゃ苦しいからです。

ある程度やんわりとでも良いので

目標とする大学を定めて

モチベーションにしていけると良いですね。

この志望校選択の極意を以てしても

100％の相性を持つ選択は難しいです。

しかし，この割合を限りなく

引き上げるにはベストな手法だと思います。

もちろん，良い選択が出来たとしても

入学後はその環境において

最大限努力する必要があることは

言わずもがなですよ。

それから，これらの選び方には

重要な観点があります。

それは，志望校を選択する上で

自分なりに軸を持つこと

です。

これは，

国公立か私立かであっても

今お話しした5つのポイント

のうち1つであっても

何でも良いです。

色々な条件があると思いますが，

すべての条件を満たすものは

限りなく少ないんですね。

その中で譲れないものを

1つだけ決める。

これは志望校決めだけでなく，

何か複数の選択肢の中から選ぶ際に

とても重要なことなので

ぜひ覚えておいてください。

せっかくのGW。この時間を使って

気になる大学・研究室のホームページや

オープンキャンパスの情報を

集めていきましょう！！

それでは。

ARIGATO☆がんちゃん

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【重要】高校数学のスヽメ｜微分篇（3）

〇微分係数とは

【重要】高校数学のスヽメ｜微分篇（2）

〇平均変化率とは

導出方法｜微分篇(1) - 1

【重要】高校数学のスヽメ｜微分篇（1）

志望校選択の極意｜後悔しないための5つのポイント(後篇)

志望校の選び方

2.研究の幅広さで選ぶ

3.先生で選ぶ

4.名前で選ぶ

5.場所で選ぶ