どうも,がんちゃんです。
微分篇の第3回目
今回は
微分係数
について紹介していきます。
今回も簡単な問題を用意いるので
紙,シャープペン,電卓を用意して
読み進めてください!
〇微分係数とは
(2)
が
から
まで変化するため,
(2.2)式より
であることから
(Ans.)
さて, について,
の値を限りなく
に近づけてみると,
に限りなく近づきます。
ここまでよろしいでしょうか?
この を,
を限りなく
に近づけたときの
の極限値
といいます。
そして,これを
というように表します(はリミットと読みます)。
極限については,数Ⅲで
詳しく扱うことになります。
そして,一般に
関数
の
が
から
まで
変化するときの平均変化率において,
の値を限りなく
に近づけるときの極限値
が定まるとき,この値を
関数
の
における微分係数
といい,
で表します。
これが今日の最重要ポイントです。
微分係数は
・・・(2.3)
と定義される。
さて,下に表している
関数 のグラフにおいて,
座標がそれぞれ
,
である
2点 ,
について考えると,
平均変化率
は,直線 の傾きを表しているといえます。
したがって,
の値を限りなく
に近づけると ,
点
は
点
に限りなく近づきます。
ここまでよろしいでしょうか?
あやふやな点があれば
読み返して見てくださいね。
では,次に進みます。
平均変化率というのは
点
から点
の
変化量の割合
すなわち,
2点
間の傾きを
表しているもの
でしたね。
の値を限りなく
に
近づけるというのは,
で表されます。
そして先程紹介したように,
の値を限りなく
に近づけると ,
点
は
点
に限りなく近づきますので,
の値を限りなく
に
近づけると,直線 は
点 を通り傾き
の直線
に
限りなく近づくことになります。
この直線 を点
における
曲線 の接線といい,
点 を接点といいます。
すると,次のことが成り立ちます。
曲線
上の点
における接線の傾きは,
微分係数
に等しい。
なんと微分係数を求めることが,
曲線の接線を求めることと
同じ意味を持つんですね。
では,練習問題です。
〇放物線 上の点(2,4)における
接線の傾きを求めよ。
・
・
・
それでは解説です。
放物線
上の点(2,4)
における接線の傾きは,
とすると,
に等しいため
(2.3)式より,
したがって,放物線
の
接線の傾きは,4 (Ans.)
・放物線の式
・ 座標
の2つさえ分かっていれば,
接線の傾きを求めることが
できるんですね。
説明を聞いて分かった気になっていても,
何も見ず問題を解こうとすると
あやふやな点が出てくるのが
勉強の落とし穴です。
もし理解できていないところがあれば
読み返したり,あなたが持っている
教科書や参考書を確認して
十分に身につけていってください!
さっそく
教科書の例題にも
取り組んでいきましょう!
それでは。
ARIGATO☆がんちゃん