こんばんは
今日の体調の記録です。
今日は日中は調子よく、食後の吐き気などもありませんでした。ただ夕食後に試しにコーヒーを飲んでみたところ、飲み終わってピアノを弾いていると段々と吐き気が襲ってきました。これを書いている今も気持ち悪いです🤮お風呂は明日の朝はいることにして今日はもう寝ます。。昨日と違って一日の終わりが最悪だ。。。
昼はカフェで勉強していたのですが、そこではカフェインレスコーヒーを飲んでました。その時は元気だっのでやはりカフェインが原因で胃か自律神経が狂うようです。お茶やコーヒーはとても好きなので早く良くなって欲しいのに...
今日の数学です。
Schubert多様体の交差理論関して勉強したところを話してみようと思います。以前書いたようにd×(n-d)正方形の部分Young図^形λに対してSchubert胞体というものが定義されますが、λ⊂μなるμ全体を渡ってこのSchubert胞体を集めたものΩ_λがSchubert多様体という、G(d,n)の既約部分多様体になります。Schubert多様体は標準旗との交わり方として
V∈Ω_λ⇔dim(F^(λ_i+d-i)∩V)≧i i=1,...,d ①
という性質を持ちます。ここでFというのはC^n内の標準旗です。よって、逆に任意の旗に対してこれを定義としてSchubert多様体を定めることにします。旗E,Fに対してSchubert多様体Ω_λ(E)とΩ_μ(F)が交差する条件をもとめることを考えると、EとFが一般の位置にある、すなわち
E^i∩F^(n-i)=0
なるとき、
Ω_λ(E)∩Ω_μ(F)≠empty⇔λ_i+μ_{d-i+1}≦n-d
が成り立ちます！この⇒はEとFが一般の位置にあるとき、C^nの基底e_1,...,e_nとして
E^i=«e_{i+1},...e_n», F^{n-i}=«e_1,...,e_i»
なるものか取れることから、V∈Ω_λ(E)∩Ω_μ(F)の条件を①で書出せばすぐに分かります。逆のことは次の双対定理
|Ω_λ(E)∩Ω_λ*(F)|=1, ただしλ*はλの双対(d×(n-d)正方形からλを取り去ってできる図形をひっくり返してできるYoung図形)
から成り立ちます。
このあたりの議論までは紙に書いて一つ一つ確認していけばあまり苦もなく追えたのですが、このあとのSchubert計算が今ひとつわからず。。。抽象的な代数幾何のモチベーションとして読み始めたものの、代数多様体の次元や次数など、(難しさのため)曖昧なまま定義されているので消化不良感が否めないんですよね。。細かいところはそんなものかと認めて先へ進む力を身につけないと。。
それでは
ちなみに最近ピアノは何を弾いているかと言うと、グリンカのノクターン「別れ」、ラフマニノフの前奏曲作品23-4を弾いてます😊😊