素因数分解、分数、小数
割り算では「割り切れる」「割り切れない」と言うと思います。
「割り切れる」は、有限小数になることです。
「割り切れない」は、無限小数になることです。
我々が日常的に使っている数は、十進法です。
十進法でないのは、時間くらいです。時間は60進法ですが、60は10の6倍なので、特に不便は感じません。
割り切れる（有限小数になる）か、
割り切れない（無限小数になる）かを
判別するのに素因数分解が使えます。
結論を言えば、分母にしたときに分子に関係なく有限小数になる数は素因数分解して、
⑴ 素数が2だけ
⑵ 素数が5だけ
⑶ 素数が2と5だけ
です。
理由は省略しますが、一言で言えば、十進法の10を素因数分解すれば、2×5 だからです。
分母にしたときに無限小数になる数は素因数分解すると、2と5以外の素数があります。
例１ 8で割る
8を素因数分解すると、2×2×2 です。
⑴ から素数が2だけなので割り切れます。
15／8＝1.875 有限小数
例２ 25で割る
25を素因数分解すると、5×5 です。
⑵ から素数が5だけなので割り切れます。
9／25＝36／100＝0.36 有限小数
例３ 20で割る。
20を素因数分解すると、2×2×5 です。
⑶ から素数が2と5だけなので割り切れます。
7／20＝35／100＝0.35 有限小数
例４ 6で割る。
6を素因数分解すると、2×3 です。
3があるので、分子が3の倍数以外では無限小数
になります。
4／3＝1.33・・・ 無限小数
1.2／3＝(12／10)／3＝2／5＝0.4 有限小数
例５ 7で割る。
7は素数なので、分子が7の倍数以外では無限小
数になります。
4／7＝0.571・・・ 無限小数
2.1／7＝21／10／7＝3／10＝0.3 有限小数
例６ 26で割る。
26は素因数分解すると、2×13で、13は素数なの
で分子が13の倍数以外は無限小数になります。
5／26＝0.192・・・ 無限小数
5.2／26＝52／10／26＝2／10＝0.2 有限小数
例１から例６は、整数で割っていました。
分数で割る場合は、どうなるでしょうか？
例７ (3／7)で割る。
2／(3／7)＝2×7／3＝14／3＝4.666・・・
無限小数
例８ (5／8)で割る
11／(5／8)＝11×8／5＝88／5＝ 17.6
有限小数
分数の場合は、赤数字で、無限小数になるか、
有限小数になるかを判断します。
小数で割る場合は、小数を分数に直します。
0.3＝3／10 ←小数点以下１ケタ
1.25＝125／100 ←小数点以下２ケタ
0.064＝64／1000 ←小数点以下３ケタ
例９ 2を0.6で割る。
2／0.6＝2／(6／10)＝20／6＝3.333・・・
最終的な分母の6は、素因数分解すると、
2×3 と、3があり、分子の20は3の倍数でない
ので無限小数になります。
例10 ７を1.25で割る。
7／1.25＝7／(125／100)＝700／125＝5.6
最終的な分母の125は、素因数分解すると、
5×5×5 なので有限小数になります。
例11 1を0.064で割る。
1／0.064＝1／(64／1000)＝1000／64＝15.625
最終的な分母を64は、素因数分解すると、
2×2×2×2×2×2 なので有限小数になります。
萩城にて