∀xの有効範囲を公理系（A,B）内、ヨxの有効範囲を公理系(A)内とします

無限公理について考察します

無限公理とは、数学において無限性を保証するもので、
ざっくりいうと、「0を含み、全てのxについて(x+1)が存在する」という公理です。

どんな数字でも+1すればそれより大きな数字が作れるなら、
数字は無限に大きく作れそうな感じがしますよね

論理式だとこんな感じの記述になります
∃A[(φ∈A)∧∀x∈A(x∪{x}∈A))]

しかし、自然数は10個しかなく、全ての自然数は10より小さいわけです。
一見すると矛盾するような話ですが、∀xの有効範囲を公理系内、ヨxの有効範囲を全ての公理内として
考えて見ましょう。

ポイントは∀xの扱いです。
Aが公理系(A)と同じサイズを持ち、公理系(A,B)より大きい場合、∀xは公理系(A,B)と同じサイズまで縮小します。

公理系(A,B)内の全て(∀x)の数字は、x+1すると公理系A内のどこか(∃A)に存在します

一目でわかるくらい当たり前の話しです。
最大の数Mに1を足すと、公理系の範囲を飛び出してしまうので、
M+1は解のない式となります。

ヨxは式が存在するかどうか、∀xは解が存在するかを判定するので、
あくまで式が存在するかどうかを議題とする無限公理は解の存在を無視します

∀xの有効範囲を公理系内、ヨxの有効範囲を全ての公理内とした場合、
(無限である証明ではないですが)、無限公理が成立するという説明でした。

公理空間5 無限公理