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分数について

前回の記事の分数の割り算について考えてみましょう。そもそも分数の表記はどうして、生まれたのか？　ここで私なりの解釈を考えてみましょう。私の答えは、複式簿記です。複式簿記のサイエンス〔増補改訂版〕: -簿記とは何であり,何でありうるか　石川純治著が面白いのですが、もともとこの内容は放送大学の著者の講義　「社会の中の会計」で知りました。細かいことは別にして、複式簿記は左右に数字を書きます。普通は間に線が引いてあります。いわゆる借方と貸方です。ここでは、線を引くのは大変なので $(n,m)$ で表しましょう。ここで　さて　正の数と０があるとします。つまり自然数ですね。負の数どうやって作りますか？　まあよくあるイメージは数直線ですね。 $-1$ 倍は　数直線の原点で反対側に移すってやつです。まあ、私も中学生の頃はこれでやってたような。実はもう一つあります。自然数 $n$ に対して　 $(n,m)$ と２つの自然数を書いてあげます。複式簿記ですね。で同じ自然数を足したものは同じものとします。 $(n+t,m+t)\sim(n,m)$ ちゃんと言えば同値類ですが、堅苦しいので、ここで単に等しいと思ってしまいましょう。そうすると　 $(n,0)$ に対して　 $(0,n)$ は　いわゆる $-n$ ですね。　だって　 $(n,0)+(0,n) = (n,n) \sim (0,0)$ ですから。

つまり、 $n$ を足すという操作があったら、その逆の操作は　その操作のペアを作って、反対側に移してあげればよい。もちろんそのためには、何も変えない操作が定義されてないといけません。 $n$ を足す操作の逆を定義したかったら、ペアにして　その場所には $0$ を　反対側に $n$ を書けば良い。大事な点は　同じ数だけずれてるときは同じものと思う。ということは表示の仕方は、それだけの自由度があるということです。この自由度、幾何の人間はすぐゲージと言う言葉を使ってしまう、別の言葉だとファイバーか。この自由度で実は複式簿記は　貸借対照表　損益計算書　キャッシュフロー計算書、いわゆる財務3表が出てきます。ゲージの固定の仕方を変えて、見てるわけで、ただ複式簿記は必ず０にするようにしている、その意味ではもうちょっとあって、なにか対称性を課していると見るべきでしょう

さて分数は　足すのではなく積です。ここで思い出してほしいのは指数関数です。 $a^{n+m}=a^n \cdot a^m$ 指数法則ですが、つまり指数関数は足し算を掛け算に変える翻訳機です。また $log$ は積を和に変える翻訳機です。積の世界で複式簿記をやってみましょう、今度は同じ数を足すのではなく、かけたときに等しいのですね。これは何を隠そう通分です！！

注意すべきは $0$ の扱い $(0,n) \sim (0,1)$ また　 $0$ で通分しませんよね。そんなことしたら、全て等しくなってしまいます。なぜ $0$ で割らないのか？　このあたりは幾何的には１次元の射影空間になってますね。

また　Youtube 動画劣等感は脳の学びになんの関係もないどころか、むしろチャンスである！　の中に出てくる分数の間違った足し算。これは、複式簿記の足し算のままやってるわけですが、これは、分数は同じ数をかけたものは等しいとは、表現方法の自由度がある、ゲージ変換の自由度がある、あるいはファイバーがあるとみれるわけで、その表示の仕方によらず、足し算がちゃんとできているかが問題ですね。 $1/2+1/3= 2/5=8/20$ になります。一方 $1/3=6/18$ だから　 $1/2+6/18=7/20$ だから　 $8/20=7/20$ っておかしいですよね。だから足し算するときにゲージを固定してあげないといけない。これが分母を同じにして計算するってことですよね。