N次元における不等式の証明はlnで両辺移した後、ベクトルと凸多角形の関係を用いて可能であるはずである（致命的な欠陥はないとかんがえる）。
（準）等号が成り立つという命題は両辺ｌｎで移せば、ｌｎと相加平均の可換性に帰着される。
（準）等号が成り立たせる仮定の一つとして、
中央値と相加平均が十分に近い
というものがある。特に正規分布はもちろん分布が左右対称であるとき、N十分大なら上記の仮定が成り立つとみなせる。
実際、単調増加関数で移すことと中央値をとる操作は可換となるため中心極限定理からN十分大の時、その分散の曖昧さをのぞいて（準）等号が成り立つことになる
訂正：lnaiの中央値と相加平均が一致するという保証がまったくないため、ｌｎが線形とみなせるくらい分布の範囲が狭いときしか上記は成立しない様子