Stochastic Phase Reduction for a General Class o

Stochastic Phase Reduction for a General Class of Noisy Limit Cycle Oscillators
Teramae, J. N.　Nakao, H.　Ermentrout, G. B.
Physical Review Letters

メモ
ノイズが駆動力の場合の位相縮約。ノイズドリフトを取り扱うためには、高次展開が必要。位相以外の自由度にも着目し、高次展開の解析を試みている。

疑問１
式３のFP方程式の導出。論文にあるスケーリングに基づき展開すると
L_0 Q = (y Q)_y + Q_{yy}
L_1 Q = ¥sigma y (h_0 Q)_¥phi + k (r Q) _r + ¥sigma g_0 y Q_r
L_2 Q = Q_{¥phi} + r (h_1 Q)_¥phi + k f_2 (r^2 Q)_r +¥sigma g_1 (r Q)_r
論文と同じ式にならない。

疑問２
スケーリングの仕方。論文中：¥epsilon = ¥sqrt{¥tau_¥eta}と十分小さいものとし、極限においてk= ¥tau_¥eta/¥tau_¥rho有限の値で一定としている。
位相以外の自由度が¥rho= ¥epsilon rとスケーリングされるには、この駆動力となるyの大きさが¥epsilonオーダーでないといけない。時定数でyを小さくするには、¥epsilon = 1/¥sqrt{¥tau_¥eta}とスケーリングしないと駄目なのでは（時定数が大きくなると、応答が小さくなる）。
スケーリングのコンシステンシーは保たれているのか？

Collective phase sensitivity（論文メモ）

題名　Collective phase sensitivity
著者　Kawamura, Y.　Nakao, H.　Arai, K.　Kori, H.　Kuramoto, Y.

http://prl.aps.org/abstract/PRL/v101/i2/e024101

メモ
結合振動子系の集団の位相応答。均一全結合で自己平均性により１体のFP方程式導出。共通に入る外力が¥epsilonオーダーで弱いという仮定のもと、平衡解からの摂動によるずれをP(¥phi,t)=f(¥phi+¥theta(¥epsilon t)) + ¥epsilon u(¥phi+¥theta(¥epsilon))と仮定し、FP方程式に代入。展開して¥epsilon1次のuの方程式を導出: f' theta' = L u + s
位相縮約のマルチスケール摂動法と同様に、線形作用素Lの随伴作用素L^¥astのゼロ固有関数を用いて、上の方程式を平均化。不定の自由度uが消え、集団振動子の位相方程式が求まる。