解析力学を勉強したいと思って「よく分かる解析力学」（著：前野昌弘）を後期のはじめに購入したのですが、勉強意欲に乏しい私の性格ではなかなか読み進めることができなかったため、簡単に内容をピックアップしてまとめていきたいと思います。一応、半期かけて第3章までは読み進められました(といっても変分原理までで、解析力学にはまだ入っていないのですが、、)。
そこで、今回は第4章「ラグランジュ形式の解析力学－導入編」について簡単に見ていきたいと思います。
いきなり話は変わるのですが、一つの分野の専門書はなんだか一つの物語を読み進めるみたいだなーって最近思いました。なんかいいですよね。はい、話戻ります笑
1.1 作用とは何か
作用とは、「動力学に対するポテンシャル」。すなわち作用を微分すると運動方程式が出てくる。
●静力学でのポテンシャルの意味
静力学のポテンシャルU(x)は位置ベクトルxに対する関数である。ポテンシャルの微分が0になる位置、すなわちgrad U = 0が物体に働く力が釣り合う位置となる。
●動力学での作用の意味
作用S{(x(t))}は経路x(t)の(汎)関数。作用の変分が0となる経路、すなわちδS({x(t)}) = 0となる経路が物体の運動経路である。
●場所x と経路x(t)の違い
要するに時間tの関数であるか否かということ。経路とは時刻tでの位置xを全て定めているということ。作用を最小にするように経路が決定されているといった感じですかね。
最初に作用を微分(変分)すると運動方程式が出ると書かれているように、作用を最小にするような運動は運動方程式を満足する運動となる(経路をたどる)といったニュアンスだろう。
1.2 ダランベールの原理
ポテンシャル(静力学)→作用(動力学)を考えるために、静力学を考え直す。
静力学では次のような仮想仕事の原理があった。
●仮想仕事の原理
このようにして、釣り合い式と仮想仕事の原理は結びついていたのである。ここで、先ほど静力学ではF = -grad U(x)のときを考えると式がさらに整理されるように、動力学においては時間依存性があるので，ΣF = mx・・を考えるのが妥当．ΣF - mx・・ = 0という風にみれば，静力学における力がこの式の左辺に置き換わったと考えるのと同じこと．（-mx・・が慣性力と考えてもよい) すると，動力学の場合にも静力学の仮想仕事の原理と同じ形に整理されるということが分かる(ダランベールの原理)．要するにダランベールの原理って聞くと難しいことのように感じるけれども，簡単に言えば，「動力学でも慣性力考えれば，静力学の力と同じで考えていいよね～」程度のもの．このような仮想仕事の原理の拡張が次式となる．
●仮想仕事の原理の拡張
はい，ということで，釣り合い式(静力学)の拡張がダランベールの原理(動力学)であり，仮想仕事の原理の拡張が上の式で，grad U=0の動力学への拡張は？？？
というのが次回ですね～！ちょっと，たった5ページでも労力が必要だったので，今後ちゃんと更新できるかは分かりません(笑) 単なる進捗報告になるかもしれませんができる限り更新していきたいと思います．