夫婦両方の実家から遠く離れたと頃に住んでいたので、帰省は主に新幹線移動でした。
一人目が生まれてから2歳になるまでの間に、東海道新幹線(主に東京ー大阪間)を10回以上利用したと思います。
夫婦と子供3人で乗ったこともありますが、私と子供の二人だけで乗ることの方が多かったですね。以下に私が経験から学んだことをまとめてみます。

1:早めにチケットをとって座席を確保
出発前にあらかじめ緑の窓口でチケットをとると、希望どおりの位置に座席を確保することができます。
お盆やお正月は競争が激しいので、発売直後ぐらいにとらないといい席をもらうのは難しいですね。

2:座席の指定
特に授乳やおむつがえが頻繁な0際時代は、多目的室の近くに座席をとらないととても不便です。
泣いたりぐずったりで席を立つことも多いので、私は常に二人がけ席の通路側の席を希望しました。
また、お金はかかるものの二人分座席をとるのが楽、という人もいるようですが、うちの子は落ち着きがないのかあまり座席にじっとしていてくれず、かなりの時間をデッキで過ごしていたので、座席を二つとったことはありませんでした。

3:多目的室とは
東海道新幹線ではすべての車両に一箇所の多目的室が用意されています。他の新幹線にもあるのではないかな。
多目的室は小さな個室になっていて、隔離された空間でゆっくり授乳やオムツがえができるので便利です。
広さは二人がけの座席の前に1メートルぐらいのスペースがある感じ。座席は180度リクライニング可能なので、私はいつも案内してきてくれた車掌さんに座席を倒してもらい、ベッドのような形にして利用していました。子供を転がしておくことができますし、オムツ換えの時にも便利です。
利用の際には車掌さんに声をかけて鍵を開けてもらわなければならないので、あらかじめ車掌室の場所も確認しておいたほうがよいでしょう。多目的室と車掌室はだいたい1車両分ぐらい離れているので子供を抱えて移動するのは結構面倒でした。いいタイミングで車掌さんがとおりかかってくれると一番よいのですが。
ただし、名前のとおり多目的で利用される部屋なので、車椅子のお客さんが長時間使用していて他の人がまったく利用できない、という場合もたまにありますし。お盆やお正月の帰省シーズンだと、子供連れのお客さんも多いので、前の人の授乳が終わるまで数十分待たされるというようなこともよくあります。
逆に他のお客さんを待たせていてあまりゆっくりできないこともありました。
車椅子のお客さんが多目的室を貸しきっていたときには、車掌さんが他の小部屋(おそらく乗務員用の部屋)に案内してくれたこともあります。多目的室よりずっと小さく、丸椅子しかありませんでしたが、一応授乳はできました。
利用時間の目安はだいたい20分、長くて30分といったところでしょうか。

4:その他のおむつがえスペース
何車両に一箇所かの割合でおむつが絵台のついたトイレがあります。ただし、トイレが狭い上に台自体もかなりコンパクトなものなので、使い勝手はよくありません。多目的室の方がずっと快適です。座席によってはそのトイレまでかなり遠いこともあって、私一人の時には一度も利用しませんでした。
とはいえ、誰の許可もとらず何度でも利用できるものなので、いざという時のために場所だけは確認しておいた方がいいかもしれません。

5:ホームまでガイドヘルパーさんに送迎をたのむ
駅内では駅員さんの誘導をお願いすることができますが、子連れで荷物も多い帰省のときには、自宅からガイドさんにヘルプしてもらうのが安心でした。入場券を購入してホームまで送ってもらい、車両が到着したら乗り込むまでサポートしてもらえます。
また実家から自宅に戻るときも、あらかじめ到着時刻と乗り込む車両を連絡しておいて車両の降り口までお迎えに来てもらっていました。
車内では子供と二人きりでなかなかハードな時間を過ごすので、ホームに下りてすぐになじみのガイドさんに声をかけてもらえると本当にほっとしたものです。