たけしのコマ大数学科#207
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2011年1月17日 深夜OA
今回のテーマは、
「大阪大学に挑戦」
（1月19日発売）
たけしのコマ大数学科 第9期 DVD-BOX
￥7,140 Amazon.co.jp
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国立大学挑戦シリーズ第5弾！
これまで1勝3敗です。
そして、今宵はなんと！マス北野のお誕生日！おめでとうございます！
（戸部アナ）
（マス北野にケーキを渡して、ろうそくの火を消してもらうが…
消えず。 咳き込んでしまい・・
代わったダンカンが、消そうとして、顔をケーキに押し付けられた！
一同からクラッカー鳴り、お祝いでございました。）
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マス北野さま～
お誕生日おめでとうございます！
ということで、冒頭はマス北野のお祝い。
誕生日は1月18日。 64歳になられました～。
（あらためて、東大生と問題を解いて張り合ってることに驚きですわ）
同い年の有名人として紹介されたのは、
鳩山前首相、デビッド・ボウイ、エルトン・ジョン、
スティーブン・スピルバーグ、美川憲一。
映画「戦場のメリークリスマス」で、ボウイとは同い年だったのか…。
今回の東大生は、
秒殺シスターズの衛藤樹（医学部5年）さんと伊藤理恵（医学部5年）さん。
二人からも、マス北野にプレゼント。
それは、東大で売っているチョコレート（1600円）と、
東大限定のサプリメント（乾杯式アミノ酸・1554円）。東大サプリメント（通販）
（※本郷構内の東京大学コミュニケーションセンターで売ってるらしい）
コマ大：
ダンカン 〆さばアタル お宮の松 ガンビーノ小林
今回のネタは
『祝！マス北野 HAPPY Birthday！』
ということで、番長から漢字をプレゼント。
Q: 覆盆子ケーキ （なんと読むか）
これは、イチゴケーキと読むのだそうで～！！
さて、今回は大阪大学の問題ということで、阪大出身者の紹介。
手塚治虫（漫画家） ： 大阪帝国大学付属医学専門部卒
司馬遼太郎（小説家）： 大阪外国語学校蒙古語学科卒
盛田昭夫（ソニー創業者）：大阪帝国大学理学部物理学科卒
問題：
１辺の長さが１の正方形ABCDの辺BC,CD,DA,AB上に
それぞれ点P,Q,R,Sを
∠APB＝∠QPC、∠PQC＝∠RQD、∠QRD＝∠SRAとなるようにとる。
ただし、点P,Q,R,Sは、どれも正方形ABCDの頂点とは一致しないものとする。
線分BPの長さ t のとりうる値の範囲を求めよ。
（大阪大学理系2006年度入試問題）
今回のルールは、阪大関係者が正解したタイムに
スタジオのマス北野と東大生が挑むというもの。
コマ大数学研究会の挑戦：
今回の検証では、
コマ大は阪大出身の社長さんに解いてもらうお役目で～す。
ロケで伺ったのは、社長さんの会社「Cybozu」のある、後楽森ビル。
http://cybozu-ri.co.jp/corporate/company
迎えたのは、社のキャラクターであるボウズマンの格好をした社員。
恥ずかしかったみたいですけど～～。
ということで、彼の案内に通されたオフィスに社長・青野慶久さんを発見。
企業向けソフトウエアの製品開発とサービス提供をしてる会社で、
「2008年 にっけい子育て支援大賞」も受賞されています。
育児休暇が最大6年間とれるそうです！
青野さんも自ら利用したそうで、自慢の息子さんの写真を披露～。
子供の話になると、デレデレでありましたぞ。（笑）
さて、阪大工学部OBとして、「東大や京大に比べると、
あんまり偉そうな感じがしない…。」と、阪大自慢をする謙虚な社長に、
今回の問題を解いてもらいました。
そして・・・・ 見事正解！ 気になるタイムは、6分32秒！
スタジオ解答者はこのタイムに挑戦です。
タカさんの決め文句
「Let's 大阪大学！でっせ！」
（右手で銭の形を表現。）
対戦開始！
先生いわく、レベルは普通の入試問題とのこと。
ちなみにこれまでの挑戦戦績は、北大（負）、名大（負）、京（勝）、九大（負）。
東大生、マス北野ともに作図して解き始め・・・。
東大生は計算で・・。 マス北野は作図した図にズバット線を…。
先に答えを書いたのは東大生。少し遅れてマス北野。
＜東大生プチ情報＞
（今回はナシ）
TIME UP！！
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解答：
マス北野チームの解答：
答え、3/4＜ｔ＜１
（解説：）
過去問題のビリヤードのように展開して、
直線で結んで考えてたら、展開図でわかんなくなっちゃった。
東大生チームの解答：
答え、１＞ｔ＞2/3
（解説：）
問題文より 0＜ｔ＜1 … ①
△ABP ∽ △QPC ∽ △QRT ∽ △SRA
（すべて １：ｔ の辺の比をもつ三角形）
これを用いて、すべての辺の長さを求めた。（図中の青字）
この長さがすべて存在していればよいので、
すべての長さが０～１になる条件（0,1含まず）を求めていった。
正解は：
2/3＜ｔ＜１
ということで、
東大生が正解。
気になるタイムは、8分45秒！ 惜しくも負けてしまいました。
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美しき数学の時間 （先生の解説）
考え方：
先生いわく、東大生の解き方でばっちりだったということ。
AB=1 , BP=t ⇒ PC=1-t
∠APB=∠QPC , ∠ABP=∠QCP=90°
⇒ △ABP∽△QCP
∴AB:BP = QC:CP ⇒ QC = (1-t)/t = 1/t-1
⇒ QD = 1-QC = 1-(1-t)/t = (2t-1)/t
同様に△QDR∽△ABP
∴QD:DR = AB:BP ⇒ DR = 2t-1
⇒ AR = 1-(2t-1) = 2(1-t)
AS = 2(1-t)/t
SがAB上にある
⇒ ０＜AS＜１
⇒ ０＜2(1-t)/t＜１
⇒ ０＜2-2t＜ｔ （ｔ＞０）
これを解いて、答えは
１＞ｔ＞2/3
※このとき、P,Q,Rが１辺上になければいけないので
・０＜1-t＜1/3 (＜1)より、PはBC上にある。
・1＜1/ｔ＜3/2より0＜1/ｔ-1＜1/2 より QはCD上にある
・1/3＜2t-1＜1 より RもDA上にある
と確認して 解いた答えがOKとなる。
これよりもきれいで簡単な解き方は、マス北野が行った展開図方式。
正方形の台でのビリヤード問題と考えればいいですね。
S”がA"B"上にあれば良いし、この条件なら、
PはBC上、Q’はCD’上、R”はD’A”上にある。
ということで、2/3＜ｔ＜1がすぐに求まる。
発展して考えると、
これはトーラスの上の直線運動を考えたということ。
※トーラス：
平面状に円周とそれに交わらない直線があるとき
この直線を軸にして円周を回転してできるドーナツ型（円環体）の表面。
このようなトーラスでは、
ｔが有理数なら、何周かして元に戻る
ｔが無理数なら、元の点には戻らないが、どの点もいつかは通る。
と、いうことになります。
マス北野はいいところまでいったのですが、
Sの場所を見極められなかったのがいけなかったようです。
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コマ大フィールズ賞：
今回は、不本意ながら
コマ大チームに！
エンディングテーマが新しくなりました。
【エンディング曲・俺のブーメラン 収録アルバム】
「花団」花団
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★あとがき
ちなみに私は、展開図方式ですぐに解けたけど・・。
次回は「あの人気キャラ登場でスタジオ大盛り上がり！」。
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講師：中村亨
（1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。）
著書：数学21世紀の7大難問 中村 亨 など
学研の参考書・辞典【コラム】中村あきら先生のマスマス数学
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
東大・秒殺シスターズ：衛藤樹（医学部5年）、伊藤理恵（医学部5年）
コマネチ大学生：
ダンカン 〆さばアタル お宮の松 ガンビーノ小林
2011/1/17 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）
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ブログでドラマや音楽番組の記事を書いているので
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