こんにちは。
大学の数学科で勉強したことをまず復習して、その後独学で数学を極めようと考えています。
自己紹介は別の記事でさせてください。とりあえず無機質な毎日の中、今日頑張って勉強した内容が載せられればいいなと思います。
【数学の基礎】
面倒ですが、自然数の定義からしっかりと復習しました。一つずつ細かく書くと大変なので軽くまとめます。
- 自然数（N）の定義（Peano Axioms）から整数（Z）の定義まで
- Equivalence Relationの定義をしてから、Z×ZのOrdered Pairを使って有理数（Q）の定義をしました。
- 「体」の定義
- Orderの定義（TrichodomyとTransitivityで定義される。）
- Ordered Fieldの定義
- 【定理】F is an ordered field iff (1)there exists a subset P in F s.t. either a is in P, (-a) is in P, or a = 0 AND (2) If a,b are in P, a+b and a・b are in P.
- Bounded above, Upper bound, Maximum of a set A, Least upper bound, Least upper bound propertyを定義
- Cut, isomorphism on ordered fieldを定義
- 切断(Cut)を使って、実数(R)を定義した。Least Upper Bound Propertyを持つOrdered Fieldは一つしかないということを証明してこの実数（R）以外に方法がないことを復習した。
【数列】
- Sequence, Bounded (bdd), monotinic increasing, strictly monotonic increasing, convergence, divergenceを定義した。
- 【定理】Convergent sequences are bdd.
- Basic Properties of Convergence
- 【定理】Any bdd monotonic sequence converges.
- Divergence to +∞を定義
- 【定理】無限への発散と逆数の数列が０になることが同値である
- Cauchy Sequenceの定義
- 【補題】Cauchy Sequences are bdd.
- Subsequenceを定義
- 【定理】A sequence lim a_n = a (aはR、または{-∞,+∞}になりうる) iff all subsequences converges to a.
- 【定理】Every sequence has a monotonic subsequence.
- 【定理 Bolzano-Weierstrass】Any bdd sequence has a convergent subsequence.
- 【定理 Cauchy Criterion】 A sequence converges iff it is Cauchy.
- lim inf, lim supを定義
- 【定理】Let（a_n）be a sequence of real numbers. Then there exists a subsequence whose limit is lim inf a_n. Similarly for lim sup a_n.
- 【定理（*）】Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then lim inf |a_(n+1)/a_n|≤lim inf |a_n|^(1/n)≤lim sup|a_n|^(1/n)≤lim sup |a_(n+1)/a_n
【級数】
- partial sum, series, convergence of series, divergence of series, converges absolutelyを定義
- 【定理 Comparison Test】
- 【定理 Root Test】lim sup|a_n|^(1/n)が１より小さいのかそれとも大きいのか。証明はComparison Testを等比数列に当てはめるだけ。
- 【定理 Ratio Test】要はRoot Test。上記の定理（*）を使っただけ。
- 【定理 Abel's Criterion】Sequenceの掛け算について。lim a_n = 0とΣb_nが有界であることが必要。
- 【定理 Dyadic Criterion】Monotonic Decreasing seriesについて。幾何学的に見ると理解できる。