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2017_センター数学ⅠA 大問２〔２〕（１）

『との間の相関は、との間の相関より強い。』について

図より、との間の相関は、との間の相関より弱い。　⇒　正しくない。

『との間には正の相関がある。』について

図より、

と

には正の相関がある。　⇒　正しい。

『が最大のジャンプは、も最大である。』について

図より、

が最大であっても

は最大でない。　⇒　正しくない。

『が最大のジャンプは、も最大である。』について

図より、

が最大であっても

は最大でない。　⇒　正しくない。

『が最小のジャンプは、は最小でない。』について

図より、

が最小のとき、

は最小でない。　⇒　正しい。

『が以上のジャンプは、すべてが以上である。』について

図より、

が

以上のジャンプでも、

が

未満のものがある。　⇒　正しくない。

『が以上かつが以上のジャンプはない。』について

図より、が以上かつが以上のジャンプはない。　⇒　正しい。

以上より、正しいものは、①、④、⑥

2017_センター数学ⅠA 大問２〔１〕（２）

$\triangle ABD=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD$

であることと、

$\sin \angle BAD=\sin \angle BAC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

と

$\triangle ABD=\frac{\sqrt{2}}{6}$

より、

${\color{White} \Leftrightarrow }\frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}\cdot AB\cdot AD$

したがって、

$AB\cdot AD=\frac{8\sqrt{2}}{6\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )}$

${\color{White} AB\cdot AD}=\frac{4}{3\left ( \sqrt{3}+1 \right )}$

${\color{White} AB\cdot AD}=\frac{4\left ( \sqrt{3}-1 \right )}{3\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( \sqrt{3}-1 \right )}$

${\color{White} AB\cdot AD}=\frac{2\left ( \sqrt{3}-1 \right )}{3}$

${\color{White} AB\cdot AD}=\frac{\mathbf{{\color{Red} 2}}\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 3}}}-\mathbf{{\color{Red} 2}}}{\mathbf{{\color{Red} 3}}}$

であるから、

$AB=\sqrt{3}-1$

より、

$\left (\sqrt{3}-1 \right )\cdot AD=\frac{2\sqrt{3}-2}{3}$

よって、

$AD=\frac{2\left (\sqrt{3}-1 \right )}{3\left (\sqrt{3}-1 \right )}=\frac{\mathbf{{\color{Red} 2}}}{\mathbf{{\color{Red} 3}}}$

2017_センター数学ⅠA 大問２〔１〕（１）

$\triangle \mathrm{ABC}$ において、余弦定理より

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$

なので、

$AC^{2}=\left (\sqrt{3}-1 \right )^{2}+\left ( \sqrt{3}+1 \right )^{2}-2\left ( \sqrt{3}-1 \right )\left ( \sqrt{3}+1 \right ) \cos 60^{\circ}$
${\color{White} AC^{2}}=\left (3-2\sqrt{3}+1 \right )+\left ( 3+2\sqrt{3}+1 \right )-2\left ( 3-1 \right )\cdot \frac{1}{2}$
${\color{White} AC^{2}}=\left (4-2\sqrt{3} \right )+\left ( 4+2\sqrt{3} \right )-\left ( 3-1 \right )$
${\color{White} AC^{2}}=6$

したがって、より、 $AC=\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 6}}}$ であるから、

$\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径をとすると、正弦定理より

$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R$

したがって、

$R=\frac{AC}{2\sin \angle ABC}=\frac{\sqrt{6}}{2\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 2}}}$

であり、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle BAC}=2R$

なので、

$\sin \angle BAC=\frac{BC}{2R}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 6}}}+\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 2}}}}{\mathbf{{\color{Red} 4}}}$

である。

2017_センター数学ⅠA 大問１〔３〕

$g\left ( x \right )$ は

$g\left ( x \right )=x^{2}-2\left ( 3a^{2}+5a \right )x+18a^{4}+30a^{3}+49a^{2}+16$
${\color{White} g\left ( x \right )}=\left \{ x-\left ( 3a^{2}+5a \right ) \right \}^{2}-\left ( 3a^{2}+5a \right )^{2}+18a^{4}+30a^{3}+49a^{2}+16$
${\color{White} g\left ( x \right )}=\left \{ x-\left ( 3a^{2}+5a \right ) \right \}^{2}-\left ( 9a^{4}+30a^{3}+25a^{2} \right )+18a^{4}+30a^{3}+49a^{2}+16$
${\color{White} g\left ( x \right )}=\left \{ x-\left ( 3a^{2}+5a \right ) \right \}^{2}+9a^{4}+24a^{2}+16$

と変形できるので、頂点の座標は

$\left (\mathbf{{\color{Red} 3}}a^{2}+\mathbf{{\color{Red} 5}}a\; ,\; \mathbf{{\color{Red} 9}}a^{4}+\mathbf{{\color{Red} 24}}a^{2}+\mathbf{{\color{Red} 16}} \right )$

である。

が実数全体を動くとき、頂点の座標は

$x=3\left ( a^{2}+\frac{5}{3}a \right )$
${\color{White} x}=3\left \{ \left ( a+\frac{5}{6} \right )^{2}-\left ( \frac{5}{6} \right )^{2} \right \}$
${\color{White} x}=3 \left ( a+\frac{5}{6} \right )^{2}- \frac{25}{12}$

と変形できるので、最小値は

$a=-\frac{5}{6}$ のとき、 $-\mathbf{{\color{Red} \frac{25}{12}}}$ である。

次に、 $t=a^{2}\left ( = 0 \right )$ とおくと、頂点の座標は、

$9t^{2}+24t+16$

と表せ、

${\color{White} =}9t^{2}+24t+16$
$=9\left ( t^{2}+\frac{8}{3}t \right )+16$
$=9\left \{ \left ( t+\frac{4}{3} \right )^{2}-\left ( \frac{4}{3} \right )^{2} \right \}+16$
$=9\left \{ \left ( t+\frac{4}{3} \right )^{2}-\frac{16}{9} \right \}+16$
$=9 \left ( t+\frac{4}{3} \right )^{2}\, \left ( t= 0 \right )$

と変形できるので、が実数全体を動くとき、であることから、

すなわち、のとき、最小値は $\mathbf{{\color{Red} 16}}$ である。

2017_センター数学ⅠA 大問１〔２〕（２）

（は）

$q:x=1\vee x=-1$

（はまたは）

（は）

$A:\left ( p\wedge q \right )\Rightarrow r$

すなわち、

$A:x=1\Rightarrow x=0$

したがって、

は真

$B:q\Rightarrow r$

すなわち、

$B:\left (x=1\vee x=-1 \right )\Rightarrow x=0$

したがって、

は偽（反例：）

$C:\overline{q}\Rightarrow \overline{p}$

の対偶命題は

$D:p\Rightarrow q$

すなわち、

$D:x=1\Rightarrow \left ( x=1\vee x=-1 \right )$

したがって、

は真

対偶命題と元の命題の真偽は一致するので、

は真

以上より、は真、は偽、は真

2017_センター数学ⅠA 大問１〔２〕（１）

はであるための何条件か。について。

$q:x=1\vee x=-1$

（はまたは）

（は）

$q\Rightarrow p$ は偽（反例：）
すなわち、はであるための十分条件ではない。

$p\Rightarrow q$ は真

すなわち、はであるための必要条件である。

したがって、はであるための必要条件だが十分条件ではない。

$\overline{p}$ はであるための何条件か。について。

$\overline{p}:x\neq 1$

（ $\overline{p}$ は以外のすべての実数）

$q:x=1\vee x=-1$

（はまたは）

$\overline{p}\Rightarrow q$ は真（反例：）
すなわち、 $\overline{p}$ はであるための十分条件ではない。

$q\Rightarrow \overline{p}$ は偽（反例：）

すなわち、 $\overline{p}$ はであるための必要条件ではない。

したがって、 $\overline{p}$ はであるための必要条件でも十分条件でもない。

$\left ( p\vee \overline{q} \right )$ はであるための何条件か。について。

$\left ( p\vee \overline{q} \right ):x=1\vee \left ( x\neq 1\wedge x\neq -1 \right )\Rightarrow x\neq -1$

（ $\left ( p\vee \overline{q} \right )$ は以外のすべての実数）

$q:x=1\vee x=-1$

（はまたは）

$\left ( p\vee \overline{q} \right )\Rightarrow q$ は偽（反例：）

すなわち、 $\left ( p\vee \overline{q} \right )$ はであるための十分条件ではない。

$q\Rightarrow \left ( p\vee \overline{q} \right )$ は偽（反例：）

すなわち、 $\left ( p\vee \overline{q} \right )$ はであるための必要条件ではない。

したがって、 $\left ( p\vee \overline{q} \right )$ はであるための必要条件でも十分条件でもない。

$\left ( \overline{p}\wedge q \right )$ はであるための何条件か。について。

$\left ( \overline{p}\wedge q \right ):x\neq 1\wedge \left ( x=1\vee x=-1 \right )\Rightarrow x=-1$

（ $\left ( \overline{p}\wedge q \right )$ は）

$q:x=1\vee x=-1$

（はまたは）

$\left ( \overline{p}\wedge q \right ) \Rightarrow q$ は真

すなわち、 $\left ( \overline{p}\wedge q \right )$ はであるための十分条件である。

$q\Rightarrow \left ( \overline{p}\wedge q \right )$ は偽（反例：）

すなわち、 $\left ( \overline{p}\wedge q \right )$ はであるための必要条件ではない。

したがって、 $\left ( \overline{p}\wedge q \right )$ はであるための十分条件だが必要条件でない。

2017_センター数学ⅠA　大問１〔１〕

$\left ( x+\frac{2}{x} \right )^{^{2}}=x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{2}{x}+\left ( \frac{2}{x} \right )^{2}$
${\color{White} \left ( x+\frac{2}{x} \right )^{2}}=x^{2}+\frac{4}{x^{2}}+4$

と

$x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=9$

より、

$\left ( x+\frac{2}{x} \right )^{2}=9+4$
${\color{White} \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{^{2}}}=\mathbf{{\color{Red} 13}}$

であるから、

$x+\frac{1}{x}=\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 13}}}$ $\left (\because x+\frac{1}{x}>0 \right )$

である。さらに

$x^{3}+\frac{8}{x^{3}}=\left ( x+\frac{2}{x} \right )\left ( x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-\mathbf{{\color{Red} 2}} \right )$
${\color{White} x^{3}+\frac{8}{x^{3}}}=\mathbf{{\color{Red} 7}}\sqrt{\mathbf{{\color{Red} 13}}}$

である。また

$\left (x^{2}+\frac{4}{x^{2}} \right )^{2}=\left ( x^{2} \right )^{2}+2\cdot x^{2}\cdot \frac{4}{x^{2}}+\left ( \frac{4}{x^{2}} \right )^{2}$

すなわち

$\left (x^{2}+\frac{4}{x^{2}} \right )^{2}=x^{4}+ \frac{16}{x^{4}}+8$

と

$x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=9$

より、

$9^{2}=x^{4}+ \frac{16}{x^{4}}+8$

すなわち

$x^{4}+ \frac{16}{x^{4}}=81-8$

$x^{4}+ \frac{16}{x^{4}}=\mathbf{{\color{Red} 73}}$

である。

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