【計算問題】因数分解の応用

まず動画を見てください。
それをもとに応用問題を解いてくださいね。

因数分解ちょい応用

　　　 ２
①４Ｘ ―　６４

　　　 ２
②２Ｘ 　Ｙ ー１０ＸＹ－１２Ｙ

　　　　２
③―Ｘー６Ｘ＋５

　　　　２　　　　　２
④―Ｘ　Ｙ－３ＸＹ

　　　　１　　２
⑤　――Ｘ　　－８１
　　　１６

　　　２　　　　　　　　　２
⑥４Ｘ　－１２ＸＹ＋９Ｙ

2
⑦-９－A - ６A

　　　2　　　１
⑧２Ｘ - ―――
　　　　　　　２




さて、答え合わせ。

　　　 ２
①４Ｘ ―　６４

まずくくり出し。
４で出せますね。
　　　2
４（Ｘ - １６）　　　　この後は公式そのまま。

＝４（Ｘー４）（Ｘ＋４）


　 2　　
②　２Ｘ ー１０ＸＹ－１２Ｙ


まずくくり出し。
そして公式の通りに計算ですね。

　　　 2　
２Ｙ（Ｘ-５Ｘ－６）

くくり出したらあとはかっこの中を因数分解。

２Ｙ（Ｘ－２）（Ｘ－３）

　　　　　２
③　―Ｘー６Ｘ＋５

まず－１でくくり出し。
そのあとは因数分解すればよし。

　　　2
ー（Ｘ +６Ｘ－５）

＝－（Ｘ－２）（Ｘ－３）


　　　　２　　　　　２
④―Ｘ　Ｙ－３ＸＹ

ー１とＸＹでくくり出し。

ー１からやってみましょう。

　　　2　　　　　 2
ー（Ｘ Ｙ＋３ＸＹ )
=-ＸＹ（Ｘ＋３Ｙ）

マイナスをくくり出したので、符号を間違えないようにしてください。


　　　 １　　2
⑤　――Ｘ　　－８１
　　　１６
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　2
この場合、前の項がかけて　―――Ｘ になる数字。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １６

　　　　　　　　　　　１
何かと言えば、―――Ｘですね。　
　　　　　　　　　　　４

後ろの項は９、であとは公式（Ｘ－A)(X+A) を使います。

　　　１　　　　　　　　　１
（―――Ｘ＋９）　（―――Ｘ－９）
　　　４　　　　　　　　　４


となります。

　　　２　　　　　　　　　２
⑥４Ｘ　－１２ＸＹ＋９Ｙ


この場合、
　　　　　2　　　　　　　　　　2
＝（２Ｘ） ー１２ＸＹ＋（３Ｙ）

　　　　　　　　2
＝（２Ｘ－３Ｙ）


となります。

2
⑦-９－A - ６A

まず並べ替えてみましょう。

　　 2
ーA ー６A-９

ここで動画とちょっと違うことに気づくでしょうか。

マイナスがA２乗についているので、まずマイナスでくくり出します。

2
ー（A + ６A+９）

　　　　　　　2
＝―（A+３）

となります。



　　　2　　　１
⑧２Ｘ - ―――
　　　　　　　２


何でくくり出すか？
ということで２でくくり出してみる。

　　 2　　　　１
２（Ｘ－　―――）
　　　　　　　４

　　　　　　１　　　　　　　　　１
=２（Ｘ＋―――）（Ｘ－――――）
　　　　　　２　　　　　　　　　 ２

となります。
今回はここまで。

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【驚き】今後の方針についてお知らせ

すごいブログがあるもんですね。
驚きで興奮が抑えきれないので、更新します。

とある男が授業をしてみた

というブログがあります。

このブログ、中学校の勉強についての動画を作って更新しているブログなんですが、

一通り問題と解説が作ってあるんですね。

今回動画の紹介許諾をいただいたので、この動画をもとにこのブログを更新していきます。

方針としては、動画の問題をもとに応用練習の問題を解いていく、ということにします。

困ったら動画を見てみてね。

私も負けないように更新していきます。

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【計算問題】因数分解の応用

２、３問解いてみようかなと思ってブログ更新。

　　２　　　　　　　　　 ２
４X　－２０XY＋２５Y

これは簡単ですね。
（２X－５Y）＾２

となります。
展開してみれば「なるほどね」になります。

展開してみましょう。

（２X－５Y）（２X－５Y)


＝２X（２X－５Y)-５Y（２X－５Y）

　　　２　　　　　　　　　　　　　　　２
＝４X　－１０XY－１０XY＋２５Y


　　　２　　　　　　　　　　２
＝４X　－２０XY＋２５Y

「２乗２乗はかっこでくくる」ということです。

　　　　　　　　　２
最初の項が４X　なので、この場合二通り考えられます。

１、４または２でくくる
２、２Xの２乗である。


この場合は２のパターンです。
よく出る問題なので、そのまま覚えてしまいましょう。


次に、１のパターンをやってみましょう。


問題

　 ２
４X-２０X＋２４
を因数分解せよ。






ということで、この場合は１のパターンです。

４でくくってみましょう。


　 ２
４X-２０X＋２４

　　　　２
＝４（Xー５X＋６）


４でくくるとどこかで見た問題が・・・

あとはかっこの中を因数分解すればよし、ということで。


＝４（Xー２）（X－３）



となります。



今回はここまで。


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【計算問題】因数分解のやり方

こんにちは。

今日は因数分解の仕方についてやりましょう。
これから解いていく２次方程式を解く際に必須となる内容なので、必ずマスターしましょう。


因数分解は簡単に言うと

足してｘ、かけて数字

になる数を探すということになります。


問題を解いてみましょう。



　２
X　＋５X＋６　を因数分解せよ。



この場合、かけて６、足して５になる数字を探します。
簡単な例題だと簡単に解けますが、今回は手順を確認しながら解きます。


まずかけて６になる数字ってなんだ？というところからはじめます

まず１と６。

次に２と３．

次に－１と－６。

次にー２と－３．


この４通りが出てきます。

これ、大体が九九の中の数字になってます。
ということで、まずは九九の中から探していくのが一つ。

もう一つは、マイナスの数字も含めるというのが大事です。
マイナスとマイナスをかけるとプラスなので、プラスだけでなくマイナスの数字も探しましょう。


で、問題に戻ります。
この場合、２と３だと足して５になります。
なので答えは

（X＋２）（X＋３）

となります。


では次に、上の例に似た問題を解いてみます。


　２
X　＋７X＋６　を因数分解せよ。


今度はかけて６、足して７の数字です。




かけて６になる数字は、上にも出た４通り。
では、その中で足して７になる数字は？



１と６です。
１×６＝６、１＋６＝７　となります。


よって答えは
（X＋１）（X＋６）となります。




次に、マイナスの場合も書いていきましょう。


　２
X　―７X＋６

を因数分解せよ





この場合、足して－７、かけて６になります。

こうなる数字は、－１と－６です。
よって答えは

（X－１）（X-６）となります。






それでは応用です。

　２
X　－１２ｘ－２８　

を因数分解せよ






足してー１２、かけてー２８になる数字です。


かけてー２８になる数字を調べます。

まず―１と２８。足すと２７。

次にー２と１４。足すと１２。

次にー４と７。足すと３。

次にー７と４。足すとー３。

次に２とー１４。足すとー１２。これが答えですがついでなので他の通りも調べてみましょう。

次に１とー２８。足すとー２７。


ということで、この問題は

（X＋２）（Xー１４）となります。


どうでしょうか？
因数分解の仕組みがわかってもらえればと思います。

公式も基本は上のやり方です。
たすき掛け、とも言いますが、私の場合たすき掛けが面倒なので手当たり次第に計算します笑。
むしろこのやり方さえ覚えていれば、公式の問題は簡単にできると思います。
頑張ってくださいね。

今回はここまで。

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【計算のおきて】最小公倍数その２

前回のブログで最大公約数を素因数分解から解く方法を書きました。
せっかくなので最小公倍数も素因数分解から解く方法を書きます。


問題
１２と１５の最小公倍数を求めよ。

１２＝２×２×３

１５＝３×５


より、この場合最大公約数と並び方は同じなんですが、最小公倍数は全部下におろします。
最大公約数は重なった部分だけ、最小公倍数は重なってない素数も全部、というところに違いがあります。
これはやり方覚えたほうが早いので、１０問ぐらい答え見ながらでいいので手を動かしてみてください。

１２＝２×２×３
１５＝　　　　　３×５
＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
　　　２×２×３×５


ポイントは全部かける、というところですね。

１２と１５の最小公倍数は

２×２×３×５＝６０となります。

１２を５倍すると６０
１５を４倍すると６０

ということで、最も小さな公倍数、最小公倍数は６０です。



問題
１６と２０の最小公倍数を求めよ


１６＝２×２×２×２
２０＝２×２　　　　　×５
＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
　　　２×２×２×２×５

よって

２×２×２×２×５＝２×４×１０＝８×１０＝８０

１６と２０の最小公倍数は８０です。


というようになります。


追記
いまいち理解しにくいときは、試しに電卓叩いて前書いたような解き方で解いてみてください。
同じ答えが出た時にびっくりしますよ。


今回はここまで。


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【計算のおきて】最大公約数について

最大公約数について説明します。

簡単に言うと、最も大きな約数は何？というのが最大公約数。
約数というのは、それらの数を割り切れる数というもの。

割り切ることが出来る数のうちで、最もおおきなものは何？ということです。



問題
１２と１８の最大公約数を求めよ。



解答
１２を素因数分解すると

１２＝２×２×３

１８を素因数分解すると

１８＝２×３×３

これらを並べ替えます。
そして使っている数字のうち、同じ数字を落とす！のがポイント。


　１２＝２×２×３
）１８＝２　　 ×３×３
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　２　　　×３

１２と１８は

２×３＝６

が最大公約数というのがわかります。
１２も１８も６で割りきれますよね？
割り切れる最大の数が最大公約数です。


問題
１５と１８の最大公約数を求めよ

１５を素因数分解します。
ちょっと丁寧に素因数分解します。
とにかく素数で割っていくのがポイント。


　　　　３)１５
^^^^^^
５

１５を３で割ると、５が残ります。
５は素数なので、これで終わり。

つまり、１５を素因数分解すると

１５＝３×５

となります。

次に、１８を素因数分解すると

　　　２）１８
　　　　＾＾＾＾＾
　　　３）９
　　　＾＾＾＾＾＾
　　　　　３

１８＝２×３×３

ということがわかります。

それでは、前の問題と同様に並べてみましょう。

１５＝　　　　　３×５
１８＝２×３×３
＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
　　　　　　　　３

というわけで、重なった数字を下におろすと３が残ります。
よって、１５と１８の最大公約数は３になります。

３だと１５も１８も割り切れますよね。


このように、「割り切れる最大の数」が最大公約数です。

では、最後にこの問題。



問題
１２と４８の最大公約数を求めよ。






素因数分解すると

１２＝２×２　　　　　×３

４８＝２×２×２×２×３
　　　＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
　　　２×２　　　　　　×３



１２と４８の最大公約数は

２×２×３＝１２

ということで１２が１２と４８の最大公約数です。



今回はここまで。
間違い、こうした方がいいよ、ということがあればどしどしコメントくださいね。
コメントくれた方、この場を借りてお礼申し上げます。
それではまた。


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【計算のおきて】１は忍者

今日は根号を含んだ計算。
コメントがあったので、間違えないように書いておきます。

　　４
―――　はなんでしょうか。
　　２

　　４
―――　は約分すると、どうなるか？
　　２


まず何で約分するか。
２ですね。

２で約分すると

　　４　　　　　２
―――-=―――＝２
　　２　　　　　１

となります。
このとき分母の１はどこへ行ったか。


簡単に説明すると、１は書かなくてもいいというのがおきて。
だから１は書きません。


根号を含んだ計算の場合、どうなるか。

２±２√２
――――
　　　２

の場合。


この場合、分母の２は両方にかかっています。

　２±２√２　　　　　２　　　　２√２
―――――　＝　――±　―――　　となります。
　　　２　　　　　　　　２　　　　　２


必ず二つに分けることを忘れないように！
分母は二つにかかっています。


ですので、約分すると

　　２　　　　　　２√２　　　　　　 １　　　　　√２
―――　±　――――　＝　―――±―――　＝１　±　√２
　　２　　　　　　　２　　　　　　　　１　　　　　１


となるわけです。
分母の１は消してもいい、ということを覚えていてください。



今回はここまで。


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【計算のおきて】最小公倍数

前回最小公倍数の話が出たので、解説します。

まず、これから。

問題
以下の最小公倍数を求めよ。

３、４



解説
最小公倍数は二つの数字をそれぞれ何倍かして、出てくる共通の数字です。

３と４の場合は、

まず３の場合、１からかけていくと

３、６、９、１２、１５

次に４の場合は、１から順にかけていくと

４、８、１２、１６、２０

となるので、１２が最小公倍数です。


次に、以下の問題

問題
以下の最小公倍数を求めよ

３、４、、６



解説
まず３の場合、１からかけていくと

３、６、９、１２、１５

次に４の場合は、１から順にかけていくと

４、８、１２、１６、２０

次に６の場合、１から順にかけていくと

６、１２、１８、２４、３０


となるので、この場合も１２が最小公倍数です。



では、以下の問題


問題
次の最小公倍数を求めよ
３，８



解説
まず３の場合、１からかけていくと

３、６、９、１２、１５、１８、２１、２４、２７

次に８の場合、１からかけていくと

８、１６、２４、３２、４０、４８、５６、７２


となるので、最小公倍数は２４です。


今回はここまで。


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【方程式】分数を含んだ方程式の解き方

分数を含んだ方程式の解き方をやります。
分数なんで見にくいときは、実際にノートなどに書いてみてください。


問題
　　１　　　　　　　　　　１
―――（ｘ－４）―　――（ｘ－３）＝１　を解け
　　３　　　　　　　　　　４

前回書いた

１＝１

の話、覚えているでしょうか？
方程式の場合は、両辺同じ数ならかけても割ってもいいという話。
そこで今回は、展開する前に分数を外します。

何をかければ分数が消えるか？
ここでまた以前書いた最小公倍数の話になります。

分数の分母同士の最小公倍数をかければよい、ということです。
わからなかったら、とにかく分数を消せばよいので、分母同士をかけた数を両辺にかけます笑。

左辺にある分数は３と４．

これを消すために、３×４＝１２　を両辺すべての項にかけます。

　　　　 １　　　　　　　　　　　　１
１２×――（ｘ－４）－１２×――（ｘ－３）＝１２×１
　　　　 ３　　　　　　　　　　　　４

分母がそれぞれ約分されます。


４（ｘ－４）－３（ｘ－３）＝１２

かっこを外します。

４ｘ－１６－３ｘ＋９＝１２

４ｘ－３ｘ＝１２＋１６－９

ｘ＝１９

となります。


次に、この問題を解きます。

　（ｘ－４）　　　　　（ｘ－３）
――――　－　―――――　＝　１　
　　　３　　　　　　　　　４


分子にかっこがついているのはなぜか？という話ですが。

最初は分子にかっこをつけます。
そしてあとは最初の問題と同じように、分母を消します。

　　　　　（ｘ－４）　　　　　　　　　　（ｘ－３）
１２×―――――　－　１２×――――――＝１２×１
　　　　　　　３　　　　　　　　　　　　　　４


４×（ｘ－４）　－３　×（ｘ－３）　＝１２

あとは最初の問題と解き方は同じです。


今日はここまで。


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【計算問題】文字式の計算・分数を含んだ場合

例えば以下のような問題。

　１　　　　１
――ab+――ab　を解け
　３　　　　２

この場合は通分すればいいです。

　１×２　　　 １×３
―――ab＋―――ab
　３×２　　　 ２×３

　　２　　　 　　３
＝――ab＋―――ab
　　６　　　 　　６

　　５
＝――ab
　　６


となります。


今日は簡単な説明だけにしておきます。
疑問点があったらコメントをお願いします。



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