( ＾,_･･＾)
今回かてきょの子の数学の期末テスト範囲はベクトルと三角関数。
数学のみならず物理・化学などはこれら無しには話が進まないから、基本事項は体の一部のように使いこなしたい。
さて、教えていて頻繁に出てきた教科書レベルの問題をひとつ。
「ベクトルa, bを、a=(1,2), b=(-3,-5)とするとき、実数tに対して|a+tb|の最小値を求めよ。」
どこにでもある、誰もが一度は触るであろう問題で、
|a+tb|=√{(1-3t)^2+(2-5t)^2}=√(34t^2-26t+5)
t=13/34 で最小になるというもの。
これでは単なる機械的な計算問題だが、少し違った見方をすると、図形的に解釈できる。
点Pが満たすベクトル方程式(OP↑=pとかく)
p=a+tb
を考えると、点Pは方向ベクトルがbの直線上にある。|p|つまりOPの長さが最小になるのは、当然Oから直線に垂線をおろしてその足をPとしたとき。
つまり、p⊥bのとき|p|は最小で、p･b=0によってt=13/34を得る。
Pがこの点からずれると、|p|^2は二次関数的に増加していく。
なかなか高校一年生相手だとうまく伝わらないけど、いろいろな見方ができるようになっていってほしいと思う
今回かてきょの子の数学の期末テスト範囲はベクトルと三角関数。
数学のみならず物理・化学などはこれら無しには話が進まないから、基本事項は体の一部のように使いこなしたい。
さて、教えていて頻繁に出てきた教科書レベルの問題をひとつ。
「ベクトルa, bを、a=(1,2), b=(-3,-5)とするとき、実数tに対して|a+tb|の最小値を求めよ。」
どこにでもある、誰もが一度は触るであろう問題で、
|a+tb|=√{(1-3t)^2+(2-5t)^2}=√(34t^2-26t+5)
t=13/34 で最小になるというもの。
これでは単なる機械的な計算問題だが、少し違った見方をすると、図形的に解釈できる。
点Pが満たすベクトル方程式(OP↑=pとかく)
p=a+tb
を考えると、点Pは方向ベクトルがbの直線上にある。|p|つまりOPの長さが最小になるのは、当然Oから直線に垂線をおろしてその足をPとしたとき。
つまり、p⊥bのとき|p|は最小で、p･b=0によってt=13/34を得る。
Pがこの点からずれると、|p|^2は二次関数的に増加していく。
なかなか高校一年生相手だとうまく伝わらないけど、いろいろな見方ができるようになっていってほしいと思う