加法定理
数学Ⅱの内容です
ではまずその公式から↓
正弦、余弦の加法定理
sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
とっても大事な公式のようです。
そういえばこれ、昨日のテストでも出てきました…(どうでもいい笑)
分配法則使っちゃいそうな感じですがダメなんですよ！
じゃあなぜこのような公式になるのか、cos(α+β)の例で証明していきましょう
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ
〈証明〉
1.まず単位円をかき、角α+βの動径と単位円の交点をPとします
2.この点Pの座標は(cos(α+β),sin(α+β))となります
3.始線と単位円の交点をAとしたとき
点Aの座標は(1,0)
2点間の距離の公式より
AP²＝{cos(α+β)-1}²+sin²(α+β)
＝2-2cos(α+β)
4.次に、2点P、Aを原点を中心に-α回転させた点をそれぞれP’、A’とします(AP＝A’P’ですね！)
5.点P’、A’の座標は
P’(cosβ,sinβ) A’(cosα,-sinα)となります
6.2点間の公式より
A’P’²＝(cosβ-cosα)²+(sinβ+sinα)²
＝2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
7.AP²＝A’P’²なので
2-2cos(α+β)＝2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ
以上で証明終了です
いかがですか？理解できましたか？？
この公式のβを-βに置き換えるとcos(α-β)の公式も証明できますよ♪
sin(α+β)の公式は、cos(α-β)の公式のαを2分のπ-αに置き換えると
sin(α-β)の公式は、sin(α+β)の公式のβを-βに置き換えると証明できます
ここら辺の単元は公式がわんさか出てくるので大変ですね〜
パッと言われたらパッと答えられるようにしたいものです…
次回は正接の加法定理について書きたいと思います
それではまた！ばい〜〜