たけのこ赤軍のブログ

ブログを生成しました

気紛れでアメーバブログを開設しました. 正整数 r 個の組 k = (k₁, ... , k_r) を index と呼び, 最後の成分が 2 以上であるときとくに admissible であるといいます. このとき admissible index k = (k₁, ... , k_r) に対し, 級数

$\zeta(\boldsymbol{k})=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$

を多重ゼータ値と呼びます. さて admissible index は正整数 s, a₁, ..., a_s, b₁, ..., b_s を用いた一意な表示

$\boldsymbol{k}=\biggl(\underbrace{1,\ldots,1}_{a_1-1},b_1+1,\ldots,\underbrace{1,\ldots,1}_{a_s-1},b_s+1 \biggr)$

を持ち, これを用いて k の dual index という新たな admissible index

$\boldsymbol{k}^{\dagger}=\biggl(\underbrace{1,\ldots,1}_{b_s-1},a_s+1,\ldots,\underbrace{1,\ldots,1}_{b_1-1},a_1+1 \biggr)$

が定まります. このとき次の事実が成り立ちます.

定理 (双対性)任意の admissible index k に対し $\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger})$ が成り立つ.