【素数】とは、「1より大きい整数で約数が1と自分自身のみであるもの」のことです。
この素数が”無限個”存在することは有名なことです。
ですが、「なぜそう言えるのか？」を言うには難しくないですか？
今回は数多くある証明方法の中で、最も簡単でシンプルな方法で証明していきます！
今回は「背理法」と言う方法を用います。
背理法とは
ある主張を証明する時に、その主張が「正しくない」と仮定して矛盾を導く
数学において強力な証明方法です。
今回の場合、「素数が無限個存在する事」を証明したいので、仮定として
「素数は無限個存在しない」
つまり
「素数は有限個しかない」
と仮説を立てて矛盾を導いていきます。
ここまでで準備は終わりです。
実際に証明していきます！
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（証明）
まず上記の通り、素数が有限個しかないと仮定します。
その有限個の素数を「P1,P2,P3,…,Pn」とする。
つまり素数は全部で”n個”あるわけです。
次に
P = P1 x P2 x P3 x … x Pn + 1
と言う数を考えます。
（全ての素数を掛け合わせて1を足した数）
この数は、上で書いた”n個”のどの素数でも割り切れない。
よってPも素数となる。
しかしこれは、”n+1個目”の素数が出てきたことになるので、矛盾が生じた。
よって、「素数は有限個しかない」と言う主張は間違いで
「素数は無限個ある」と言う主張が証明される。
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どうでしたか？
これは最もシンプルな証明で、難しい理論は使っていません。
でも「無限個」存在することは納得できると思います。
興味がある方は、難しい証明も調べてみてください！