通常は「ａｄｉｄａｓ」という文字と、その上の３角形の線で１つのロゴと見なされます。
それに加えて、シャツの袖（肩）やパンツ・スカートの裾の３本線の大きさが問題になり「Ｗロゴ」と見なされるのです。
現在、発売されているのは服装規定をクリアしていますが、３～５年以上前のウェアが問題になっています。
今所有のキャップなら問題はないと思われますが・・・大会主催者に問い合わせることが確実です。
大会の参加資格やウェアの規定については、大会主催者が決めるものなので、参加する大会によって制度は異なります。ですから、一般的にどうかということにはならないので、最終的には主催者に問い合わせるしかないでしょう。
という前提でお話ししますが、アディダスがダメと言われるのは、三本線とロゴマークが一緒に入っているケースで、デザインだと思われていた三本線がロゴマークにあたり、ダブルロゴはダメという規定に抵触すると判断される場合のようです。それを伝え聞いた方が、アディダスは何でもダメなんだと誤解してしまった可能性はあります。主催者側に問い合わせるのが最善だと思います。
アディダス スニーカー
クロックス