おそらくコート関係者が「普通じゃだめ」と言ったのは、今は実際の所街履き用として有名なテニスシューズ（例えばアディダスのスタンスミス、ナイキのフォレストヒルズなど・・昔はプロ選手も履いていたのに（^^;）などを指していて、普通のシューズ・ショップで買った自称（^^;）「テニスシューズ」はダメと言う意味だと思います。要は競技用のシューズじゃないとダメと言う意味があると思われます。
クレー（土）やオムニ（人工芝に砂がまいてある）は非常に滑りやすいので、その辺りの確認だと思いますが、クレー専用シューズは一般向けには殆ど無くて、殆どのシューズはオムニ・クレー用かオールラウンドですのでテニスショップで買ったシューズならまず大丈夫です。
「普通の」という言い方はちょっと妙ですが、ハードコート用のシューズを意味していると思われます。滑る、滑らないということもさることながら、ジョギング用なら勿論、ハードコート用シューズでも、クレイコートはとても傷んで直ぐデコボコになってしまいます。オムニならばそういう心配はありませんが。
ちなみに、滑りにくいソールになっているクレイコート用でハードコートでプレイすると、コートが傷むことは勿論ないけれど、停止がきつすぎて足首を傷めやすくなります。以前はクレイコート専用のシューズがちゃんとありましたが、最近は殆んどオールラウンドという言い方で、やや境界が不明瞭になっているのでしょうか。
アディダス スニーカー
クロックス