ベヒロのブログ

とある数学の講義で感動したことのメモ（ニュートン補間）

このブログは、ニュートン補間について、具体的な値で計算した例が

あまり見当たらないので書いたものです。

（本来、多項式補間を学習するような大学生は抽象化・一般化して議論していくので当然）

/*数学的な正しさ、その他用語の正確さについては自信ありません！

また、10年以上前の記憶を元に構成したものですのであいまいなところはご容赦を（自分の確認用）*/

（前置き）昔の人は、星の動きから暦・季節を考えたり、未来の干ばつや水害を

占ったりしていました。でも、多くの星が規則通り動き、１年周期で元に戻るのに、

その規則に従わない星がありました。

惑星です。

なので、惑星の動きが予想できることは非常に価値がありました。

　参考：タレスのオリーブ

タレス - Wikipedia

ja.wikipedia.org

（前置き終わり）

　あるとき、（惑）星 ${\color{White}alpha}$ を観察したらポイントAにあり、次に観察したらポイントBに

あったとします。このとき、星はAからBへまっすぐ進んだと考え、そしてBから先もまっすぐ進むと予想するのは自然なことだと思います。

　　今、 ${\color{White}xy}$ 平面を考え、A(0,0)，B(1,5)，直線を　 ${\color{White}y=ax+b}$ 　とすると

　　　点A(0,0)は原点だから　 ${\color{White}b}$ ＝０　より　 ${\color{White}y=ax}$ 　

　　　点B(1,5)を通るから　5= ${\color{White}a}$ ・1　より　求める直線は　 ${\color{White}y=5x}$

　よし、これできっと3回目の観測で星 ${\color{White}alpha}$ は予想（ ${\color{White}x=2}$ なら ${\color{White}y=10}$ ）のところに

あるはｚ…

　あれ！？ズレてしまいました。実際にはC'(2,8)に移動したようで、直線状に

動くと予想したのが誤りだったようです。

　さて、3点A(0,0),B(1,5),C'(2,8)を通る曲線は考えられるでしょうか？

高校生以上の（数学Ⅰを終えている）人ならピンと来たと思います。

そう、これは　"2次関数の決定"　ですね！

　　この3点を通る2次関数を ${\color{White}y=ax^2+bx+c}$ 　とする

　点A(0,0)を通るから　0= ${\color{White}a}$ ・ ${\color{White}0^2}$ + ${\color{White}b}$ ・0+ ${\color{White}c}$ 　よって　 ${\color{White}c}$ =0

　点B(1,5)を通るから　5= ${\color{White}a}$ ・ ${\color{White}1^2}$ + ${\color{White}b}$ ・1　　より　　 ${\color{White}a+b=5}$ 　…①

　点C(2,8)を通るから　8= ${\color{White}a}$ ・ ${\color{White}2^2}$ + ${\color{White}b}$ ・2　　 ${\color{White}4a+2b=8}$ 　より　 ${\color{White}2a+b=4}$ 　…②

②-①

　　①に代入　 ${\color{White}b=6}$ 　よって　 ${\color{White}y=-x^2+6x}$

　　さて、ここでこの講義の教授のセリフです！

　『これが君たちがダメで、ラグランジュやニュートンがえらい（賢い）理由だ』

　　急にディスられます‥。

　『彼らは今までの計算も無駄にしない』

　　☆ここからはニュートン補間を、講義で受けた説明でなく、

　　私が考えた具体的な計算で書きます。

　A(0,0)，B(1,5)を通る直線は　 ${\color{White}y=5x}$ 　

もちろんこの式はC'(2,8)を通りません。なので後ろにちょい付けたし

　 ${\color{Whitew}y=5x+a(x-}$ 0 ${\color{White})(x-}$ 1 ${\color{White})}$

とする。　※普通 ${\color{White}(x-0)(x-1)}$ は ${\color{White}x(x-1)}$ と書きますね。

　　この ${\color{White}a(x-}$ 0 ${\color{White})(x-}$ 1 ${\color{White})}$ がミソで、A,Bの ${\color{White}x}$ 座標である0または1を代入すると

　 ${\color{White}a}$ の値によらず（ ${\color{White}a}$ がどんな値でも）0になってしまいます。

　「 ${\color{White}x}$ に0または1を代入したときは　 ${\color{White}y=5x}$ 　と同じになってほしい」が

　達成できていることになります。

　（ ${\color{White}x=0,1}$ を代入すると、2点A,Bを通ることがわかります）

　　 ${\color{White}y=5x+a(x-}$ 0 ${\color{White})(x-}$ 1 ${\color{White})}$

　C'(2,8)を通るから　8=5・2+ ${\color{White}a}$ (2-0)(2-1)

　　 ${\color{White}2a=-2}$ 　 ${\color{White}a=-1}$

　　 ${\color{White}y=5x-(x-0)(x-1)=-x^2+6x}$

　　(上と同じ式）

　仮に次の観測結果がまた関数から予想される点と異なれば、

付けたす部分を追加して

　 ${\color{White}y=-x^2+6+b(x-}$ 0 ${\color{White})(x-}$ 1 ${\color{White})(x-}$ 2 ${\color{White})}$

として、通る点の座標を代入して ${\color{White}b}$ を求めれば

4点を通る3次関数を決定することができます。

　これを繰り返すと、実際には正しくなくてもほぼ正しい値を

返してくれる式（近似式）を求めることも？

　（関数なので、ある ${\color{White}x}$ の値に対して複数の ${\color{White}y}$ の値が出ることは想定外です。）

☆ニュートン補間

　 ${\color{White}(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),$ …, ${\color{White}(x_{n},y_{n})$ を通る多項式（関数）

${\color{white}y=y_{0}+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})(x-x_{1})+}$ … ${\color{white}+[y_{0},y_{1},}$ … ${\color{white},y_{n}](x-x_{0})(x-x_{1})}$ … ${\color{white}(x-x_{n-1})}$

　ただし　 ${\color{white}i\neq j$ 　のとき　 ${\color{white}x_{i}\neq x_{j}}$ 　

　（例えば　 ${\color{white}x_{0}}$ と ${\color{white}x_{1}}$ ， ${\color{white}x_{3}}$ と ${\color{white}x_{7}}$ は必ず違う数字とする）とし、

　　　とする

　　　↑差商というらしいです。この計算を繰り返すと上の式の[　]内の ${\color{White}y_{i}}$ は

　一つずつ減るので、いつか下の式になって値（項の係数）になります。

　（ ${\color{White}x_{0}=0,y_{0}=0,x_{1}=1,y_{1}=5,x_{2}=2,y_{2}=8}$ ）

☆ラグランジュ補間

（よく見ると、各項に一つ飛ばしてるところがあります。

　 ${\color{White}y_{i}$ が係数の一部になっている項は　分子 ${\color{White}(x-x_{i})}$ ，分母 ${\color{White}(x_{i}-x_{i})}$ はありません。）

という風に、分数部分が1つだけ1になり、他の項は0になる、

先ほどの消える原理がわかっていればとてもわかりやすい式です。

　ただし、全体の計算が割と大変なのと、点の座標（特に ${\color{White}x}$ 座標？）が間違っていた

場合、すべて計算しなおしになってしまうのが弱点のようです。

（ニュートン補間は間違っていた点以降の計算が直す対象？なのですべてではない）