E=MC² (1946年アインシュタイン)

Ｅ＝MＣ²

のアインシュタイン自身による

簡略な導き出しです。

１９４６年に作られたもので

とてもわかりやすく、

高校生でも理解できます。

河合塾　(理論物理への道標)

からの引用です。

Ｅ（エネルギー）＝MＣ²（質量×光速度の二乗）

は質量それ自体がエネルギーを持つという

１９０５年にアインシュタインが発表した

特殊相対性理論から導き出されます。

実は太陽では水素がヘリウムに核融合するときに

わずかに質量が欠損します。

ウランが核分裂をおこすときにも

わずかに質量が欠損します。

それが莫大な熱エネルギーに変わります。

実はこの平和的利用が

核融合と原子力発電で

その反対が

水素爆弾と原子爆弾になります。

人間の知性は

私たちを産んだ

宇宙の始まりから

そのずっと先まで予見しようとしている。

同時に

信じられないほど

馬鹿なことをしてしまう。

そうでないことを本当に祈る。

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回転方物面斜め切り

①放物線y=3/４－ⅹ²をy軸の回りに回転して得られる局面Ｋを

　原点を通り回転軸と４５度の角をなす平面Ｈで切る。

　局面Ｋと平面で囲まれた立体の体積を求めよ。（１９８３年東大）

もう一問練習しませんか？

②ｘｙｚ空間において

ｘｚ平面（ｙ＝０）上の曲線ｙ＝ｚ²をｚ軸の回りに

回転してできる曲面をＳとする。

この曲面Ｓと平面Ｐ：ｚ＝２ｘ＋３によって囲まれた

立体の体積を求めよ。（１９９０年早稲田大学）

水の問題（数学Ⅲ）

水の問題も

⊿Ｖ＝Ｓ×⊿ｈ

（微小立体の求積）から始めます。

①内部の形が半径１０ｃｍの半球の容器

（ヘリの大円が上部で水平）に水を満たし

ここから水を汲みだすのに水面の下がる速さを

ｖｃｍ／秒にしたい。

ｔ秒後において水を汲みだす速さｈを出しなさい。

　　　　　　　　　　　　（京都大）

②容器がからの状態から水を注ぐ。

水の深さｈと水面の面積Ｓには

Ｓ＝πｈの関係がある。

注入された水がＶになったとき

水面の上昇速度を求めなさい。

　　　　　　　　　　（東京工科大）

面白かったかな？

ヘミアセタール

-C-O-C-OHの形が糖にあれば

アルデヒドに変化して還元性をもちます。

この形をヘミアセタールといいます。

ちなみに-C-O-C‐O-Cをアセタールと言います。

糖の問題では頻出で

エーテル＋OHの形ですが　

覚えにくいので

-C-O-C-OH（国王）って覚えては？

-O-C-OH（億王）でも発見できます。

αグルコースの場合

①は、OH基の酸素原子にHの電子が

引っ張られてH（水素イオン）が放出されるからです。

その水素がC-O-CのOに転移します。

その結果

②O‐Cの部分がきれてしまいます。

そのとき③アルデヒド基が出来ます。

フルクトースは少し難。

やはり①OH基のHが転移して

②O‐Cの部分で環が切れる

ところまでは同じです。

次にヒドロキシケトン基の

③ＣＨ₂ＯＨのＨが離脱します。

④ＣＨ₂のＨが隣のＣに転移

さらに

⑤ＯにＨが付加して

⑥アルデヒド基が完成します。

不等式で表された立体の求積

xyz空間内において次の６個の不等式で表される立体の体積を求めよ。

x≧0  y≧0  z≧0

x+y+z≦3   x+2z≦4   y-z≦1

　　　　　　　　　(1988年東大文系)

どうでしょう?

面白いと感じたあなたに

もう一問。

　a>０とする。

　不等式　0≦z≦y²ーx²　

　　　　　　　|y|≦a

　　で表される立体の体積は？

　　　　　　(2000年和歌山医大)

　　　　　　答えは、2a⁴/3です。