2009-10-21 18:03:18

確率論

テーマ:statisticalmechanics
今日は、お勉強です。Désolé, j'écris aujourd'hui en japonais. A demain !
読んでいた本が私には難しすぎて、止まってしまいました。

それでまずは、
高橋幸雄 著 基礎数理口座 『確率論』 (朝倉書店 2008) を読むことにしました。
わかりやすくて、ザクザク進める(ような気がする)楽しい本です。
(えーと、練習問題をぜんぶ飛ばしています・・・。) 

8章と9章のおさらいをします。例によって好きなところしか書きません。
おかしなところは、どんな些細なことでも教えてくださいね。抜けている、おもしろい話も。
毎度のことですが、数式がうまく書けなくて、ごめんなさい。

絶対連続分布について

確率空間は一般に、標本空間 Ω、σ‐集合体 A と確率を表す関数 P からなる。
一般に確率Pを、Ω の部分集合全部に定義することができないので、σ-集合体について定義する。
σ-集合体をどうやって作るかというと、σ のつかない集合体からがんばって作られる。

そんなσ-集合体の一つが、ボレル集合体である。

・ボレル集合体とは、
実数 R 上に定義されたすべての区間を含む最小の σ-集合体である。
その要素となる R の部分集合をボレル集合と呼ぶ。

・ボレル可測関数 h(x) : R → R とは、任意の実数 a について、
集合 { x : h(x) ≤ a} がボレル集合であるものである。

・確率変数 X : Ω → R の(確率)分布関数 F(x) というのは、実数の関数で、

F(x) = P{ X ≤ x } = P{{ ω : X(ω) ≤ x }} ( -∞ < x < ∞ )

・分布関数が、絶対連続分布と言われるのは、
分布関数がある非負のボレル可測関数 f(x)を用いて、

F(x) = ∫(-∞→∞) f(u) du    

と表わされるとき。このとき非積分関数 f(x) は確率密度関数と呼ばれる。
(この積分は一般にルベーグ積分なんだって。)

ルベーグ積分では、R の区間 I = (a, b] に対して、μ{ I } = b - a とおいて、
ボレル合 B の長さを表わす、ルベーグ測度 μ{B} を導いた。
同じ考え方をして、分布関数 F(x) が与えられているときに、区間 I = (a, b] に対して、
確率 F{ I } = F(b) - F(a) を割り当てることによって、測度 F{B} が導かれる。

このとき、ラドン - ニコディム の定理が成り立っている。すなわち、

μ(B) = 0 であるすべてのボレル集合 B に対して、F{B} = 0 ならば、
分布 F(x) は絶対連続である。したがって密度関数 f(x) を持つ。

よって、F(x) はほとんどいたるところで微分可能で、その導関数 f(x) はルベーグ積分可能という、
先の表現になるわけです。

ラドン - ニコディムの定理から、連続分布ではない分布とは、ルベーグ測度が0であるようなボレル集合 B 上に、
確率が与えられている分布のことであるということが分かりますね。

おしまい。やっと「ルベーグ測度」という言葉には出会えました。先は長いけれどゆっくり行きますよ。

Ciao,
yuba---*

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2009-10-02 10:58:45

The Logic of Thermo-statistical Physics 2

テーマ:statisticalmechanics
前の記事 ( こちら )の続きです。まだ4章が終わっていませんでした。数式がかけなくて、ごめんなさい。
Je continue l'aticle du livre ; The Logic of Thermo-statistical Physics.

Laplace (1749 - 1827)
de Moivre のスターリングの公式をさらに一般化したラプラスのおかげで、Bernoulliの(弱い)大数の法則は、
解析的な手法を使って、「 n が大きくなればなるほど、近づいていく」という意味が加えられました。

それから、ベイズの定理も、ラプラスによってベルヌーイの法則のときと同様の意味で、洗練されました。
でも、ラプラスの確率に関する考え方は、Galileo のころから変わっていないようです。
「ある事象の確率を計算するには、その事象を、同様に確からしい素事象に分解しなければならない」、
というものです。だからラプラスは、uniform distribution を受け入れていました。

A connection between probability theory and the theory of errors (この記事はなんとなくC.S.Peirceに)
The theory of errors の問題というのは、ある量を何回か測定し、結果の列を得たのち、その量の "best" value を
どのように決定すればよいか、というものです。
この問題と確率を最初に結びつけたのは、Simpson [1757] だと言われていますが、
「"best" value はもっとも確率が高い値だ」と言うために、Gauss が使った方法をいっしょに見てください。

ガウスはまず、誤差の確率密度として正規分布(ガウス分布)を与えます。

それから、n 回の独立試行の確率分布 (Ω (x1,x2,...,xn)) を表せるように、ガウス分布を掛け合わせます。
i.e. Ω (x1,x2,...,xn) = ( φ (x) )の n 乗

最後に、こんな関係を見つけます。(読めないかもしれませんが、一応書きます。)
Ω が maximum   iff   ∑_k^n [ 1/(2σ^2) (xk - x0) ^2 ] が minimum.
それを彼は、「もっとも確率の高い値とは、その値と測定値の差の二乗が最も小さくなる値である」
という主張が得られたと解釈しました。
(いただいたコメントの説明が分かりやすくて、おもしろいので、是非コメント欄を見てください。)

ガウス分布
Gauss (1777 - 1855)によるガウス分布(正規分布)の作り方は、その半世紀後、Maxwell (1831 - 1879) による
気体中の速度分布の作り方とよく似ています。

ガウスはまず、確率密度(確率分布)が満たしているはずの前提をいくつか挙げます。
彼が挙げているのは、being symmetrical, normalized to 1, differentiable, unimodal and vanishing at infinity です。

そして、それらを満たすものとして、1/x d (ln φ (x))/dx = k (k ; a negative constant) を見つけます。
この式を積分して、正規化するといわゆるガウス分布の形になります。

考え方という点で、ガウスはこれまで書いてきた人たちとはかなり異なります。
de Moivre-Laplace theorem (ベルヌーイの(弱い)大数の法則のラプラス版) や Bayes-Laplace theorem (ベイズの定理のラプラス版)はどちらも、試行数、n が果てしなく大きくなるときという仮定のもとで、成り立つ定理でした。
他方、ガウス分布やマクスウェルの速度分布は、今述べたような前提から得られました。

第4章、Classical Probability はおしまいです。5章、6章も書きたいとは思っているのですが、
いつになるのかわかりません。

Gérard Emach and Chuang Liu,
The logic of Thermo-statistical Physics,
Springer 2002

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2009-09-30 11:31:03

The Logic of Thermo-Statistical Physics

テーマ:statisticalmechanics
秋の一冊、苦戦しています。(前の記事はこちら。) 少しずつ、まとめておきたいと思います。
Je lutte maintenant pèniblement en lisant un livre, sa table est :

4章(Classical Probability)
5章(Modern Probability :syntax and models)
6章(Modern probability : Competing Semantics)

今日は、第4章 Classical Probability から。まずは、節題が楽しいです。

4.2 From Gamblers to Statisticians
4.3 From Combinatorics to Analysis
4.4 From Here to Where ?

ギャンブラー時代  いかにゲームに勝つかよりも、ここで重要なのは、「どうやって賞金を分配するか」です。
もちろんゲームが終了してしまえば、賞金をもらうか、もらわないか、しかありませんが、
途中で中断して、ゲームの進み具合に合わせて、賞金を公平に分配する方法が考えられました。

Classical Probability の萌芽 17世紀中ごろと言われています。
パスカル(Pascal:1623-1840)とフェルマー(Fermat: 1601-1665)の書簡が有名です。
パスカルの三角形 (左寄せで直角三角形にして思い浮かべてください)
の、n 行 k 列の値を求める式(b(n,k))は、n 個から k 個選ぶ組み合わせの数に等しいので、
n 回コインを投げて k 回表が出る確率は、パスカル三角形の式をつかって求められました。
すなわち、b(n,k)×p のk乗×q の(n-k)乗です。(pは一回投げて表がでる確率、qは裏。普通は両方1/2)

もう一つ大事なことは、パスカルの三角形はいつも列の真ん中にくる数字が一番大きいということです。
つまり、b(n,k)は、k/n が1/2に近いところでピークになるということです。
そして、nが大きくなればなるほど、ピークはよりはっきりとしてきます。
次に出てくる、Bernouilliによる(弱い)大数の法則はこのことの一般形だと考えられます。

From Combinatorics to Analysis 
古典的な確率論が、組み合わせ論から解析を使って表現されるようになるまで、
登場人物は、Jakob Bernouilli (1664-1705), de Moivre (1667-1754), Bayes (1702-1761) 
後に、Laplace とPoisson の仕事によって、三人の結果がまとめられます。

Bernouilli の(弱い)大数の法則の証明は、組み合わせ論の域を一歩もでないまま得られます。
大数の法則と呼ばれるときは、コインの例を使って言ってしまえば、「コインを投げる回数がすごく多いとき、
表が出た回数/投げた回数 (つまり算術平均)は、コインを一回投げたときのおもてが出る確率 (後に期待値) に
すごく近いということはほぼ確実である」という意味で解釈される、数学の定理です。

古典的な確率論が組み合わせ論を超えたのは、de Moivre がスターリングの公式を(Stirlingとは別に)発見したときです。
de Moivre は I. Newton に「彼は自分よりよく分かっている」と言われたほどの実力がありました。
スターリングの公式は、階乗を求めるための公式です。この公式を導くために、指数関数、自然対数を含む
微分積分が使われました。Newtonと同時代なのだから、微分積分はまだ生まれたてです。
確率論を作った数学者たちは、当時最先端の数学者だったんですね。

Bayes は、論争の多い「ベイズの定理」のベイズです。「条件付き確率」を作りました。
条件付き確率を使って、「確率的に独立な試行」という概念が提示されました。
たとえば、コインを何回も投げるのは、それぞれ独立です。Bayes自身はこんな風にも言っています。
"The probability that several independent events shall all happen is a ratio compounded of the probabilities of each."
独立だったら、それらの確率を掛け合わせてよいということです。確率の掛け算は、以前から使われていたけれど、
条件付き確率が作られてやっと、独立という概念がはじめてはっきりと述べられたのでした。

4章がまだ終わっていないので続きは後日。不審な点があれば、教えてください。

Gérard Emach and Chuang Liu,
The logic of Thermo-statistical Physics,
Springer 2002

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2009-08-26 15:24:11

秋の一冊 Le livre de cet automne

テーマ:statisticalmechanics
思えばここ何日も短歌しか書きませんでした。こういうことが私にはよくあります。
たとえば二年以上も毎日パスタを食べ続けてしまったり。本は一か月くらいかけて一冊読み終えます。

夏の一冊 ( ここに書きました )を無事読み終えました。
わかりやすくて、新鮮で面白く、著者の論文をもっと探しに行こうと思っています。

方程式(たとえば波動方程式)の解(波動関数)の中には、別の理論(波っぽくない理論)のアイデアを借りてこないと、
見つけられない/解釈できないものがある。その時、その解が方程式にふくまれているとは一体どういうことなのでしょう。著者の言うasymptotic reasoning はそんなことにも関わってきます。

そんな夏を終えて、秋の一冊は、Le livre que je vais lire cet automne ;

Gérard Emach and Chuang Liu,
The logic of Thermo-statistical Physics,
Springer 2002

すごく重たい本なので、もちろんこの秋に全部を読みとおすことはできませんが、
いくつか章を飛ばして、理解しようと決めたところを読もうと思っています。

この本は目次を眺めていると、熱力学、統計力学で使われるモデルを、論理的に再構成し、
それを一つずつ丁寧に説明するといった技術的な数学の本に見えて、果てしないな、、、と落ち込みますが、
読み始めると、哲学的、歴史的なところがあり、芯のとおった心地のよい本だと感じます。
現象を説明/理解するにはシンタックスだけではなく、モデルが必要で、モデルの構築とは本来これこれこういう
ことなんだと、きっちり説明してくれるのだと思います。

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2009-07-25 11:43:05

夏の一冊 Un livre de cet été

テーマ:statisticalmechanics
今年の夏の一冊は、この本になりそうです。読み始めていますが、わくわくしています。
J'ai décidé mon livre de cet été !

The Devil in the Details - Asymptotic Reasoning in Explanation, Reduction, and Emergence -
Robert W. Batterman, Oxford University press 2002

哲学者は普通、理論間の還元といえば、このように考える。
「理論 T が理論 T' に還元する iff. T' の諸法則が T の諸法則から帰結する(derivable)」
ただし "derivable" に諸説あり。

一方、物理学者は逆に、より洗練された理論 Tf が粗い理論 Tc に還元すると考える。
すなわち、Tf に現れるある変数εについて、 lim(ε→0) Tf = Tc 

この本では、Asymptotic Reasoning の解説、例を通して、後者のような極限における関係を真剣に考えましょうよ
という趣旨で進んでゆくようです。

この本のことはある科学哲学者さんに教えていただきました。教えてくれてありがとうね!!
Un philosophe de science m'a recommandé ce livre, merci beaucoup !!

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2009-06-23 11:28:06

Fermi energy ? フェルミエネルギーとは

テーマ:statisticalmechanics
波動関数は、区別できない粒子の名前を入れ替えても元と同じ物理状態に対応する。ψ(r1,r2)=αψ(r2,r1). α; 複素定数
区別できない粒子なのだから、反対からも同じ α で、ψ(r2,r1)=αψ(r1,r2).
最初の式に代入すれば、 ψ(r1,r2)=α^2 ψ(r1,r2). (^2は二乗).
要するに、名前を二回入れ替えると元に戻るという性質を持っている。 この性質を満たすのは、一回入れ替えて符号が変わらない時 [α=1] と、符号が変わる時 [α=-1] である。

いろいろ実験した結果、自然界の粒子は[α=1]のグループに対応するボゾン(boson)と、[α=-1]のときに対応するフェルミオン(fermion)に分けられることが分かった。 たとえば電子やクォークはフェルミオンで、光子はボゾン。それから、偶数個のフェルミオンとボゾンでできている複合粒子はボゾンになり、奇数個のフェルミオンとボゾンでできている複合粒子はフェルミオンになる。C'est logique!

さてたったこれだけのことから、一生懸命計算すると、ボゾンならば複数のボゾンが一つの一粒子固有状態を占めることができるのに、フェルミオンの場合は、一つの一粒子固有状態には一つまでしか入れないこと [パウリの排他律] が得られる。

そこでボゾン系とフェルミオン系の最低の固有エネルギーを求める。
ボゾン系の場合は、すべてのボゾンが最低の一粒子エネルギーを占めればできあがり。
フェルミオン系の場合は、一つの一粒子固有状態に一つまでだから、エネルギーの低い一粒子固有状態から一つずつ埋めていくと、系の基底状態(最低エネルギーを持つ固有状態)が得られる。たとえば、フェルミオン系にN個のフェルミオンがあれば、低いものから数えて、N番目までフェルミオンがはいっていて、N+1番目は空。

そして、境目の N番目の一粒子固有状態が系のフェルミエネルギーと呼ばれている。あるいは、フェルミオン系の絶対零度付近では、科学ポテンシャルが、フェルミオンがはいっている一粒子固有状態と入っていない一粒子固有状態の境めになるので、絶対零度では、科学ポテンシャルとフェルミオンエネルギーが等しい。
つまり、科学ポテンシャルを逆温度βと密度ρで、μ(β,ρ)とあらわすと、フェルミエネルギーε_f = μ(∞,ρ).

田崎清明 『新物理学シリーズ38 統計力学 Ⅱ』 培風館 2008 わかりやすくていつも感動しています。

Je renonce maintenant à traduire cet article en français.Je veux le faire un jour.

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yuba---*
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2009-06-08 13:16:48

statistical mechanics 4

テーマ:statisticalmechanics

Je viens d 'écrire dans l'article intitulé statistical mechanics 2 que "une fois que le nombre des particles devient très grand, on rencontre une sorte de "retournement"". Et je considérais quel est ce retournement et la raison da ça.


Est-ce que ça concerne à la inégalité de Chebyshev ou la loi de grand nombre de la théorie des probabilités, théorie purement mathematique ?


La loi de grand nombre peut etre comprise ici,

quand on fait des expériences de mesurer quelque quantité physique à la fois dans le grand nombres de system (ou on rèpète beaucoup de fois les expériences dans le même system ) et ensuite calcule la moyenne mathèmatique des quantité, la résulta de ce calcul est alors presque assurée d'etre la même que la valeur d'espèrance de ce quantité calculé par le moyen de la théorie des probabilités.


Si le nombre de systemes (particles égales) augmente, on peut dependre de cette loi. Et avec cela et la thèorie des probabilités, plusieurs problems de dynamique deviennent faciles. Au contraire, si le nombre de systemes est petit, on n'a pas de raison d'utiliser cette thèorie.


La statistical mechanics dans le contexte physique est assuré par les thèories mathematiques.


J'ai oublié dire du livre que je lis. C'est un livre en japonais.

田崎清明 『新物理学シリーズ 37 統計力学 I 』 培風館 2008. 


Ciao,

yuba---*

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2009-06-04 11:56:18

statistical mechanics 3

テーマ:statisticalmechanics

J'ai commencé à comprendre qu'il n'y a pas de mistère dans la statistical mechanics elle-même. Elle concerne seulement aux qualités ou lois qui s'appliquent aux beacoup de systemes dynamiques. Oui, elle s'établie pour les phènomènes universels des certains macro-systemes en étà d'équilibre, par exemple, pour comprendre la loi de Dulong-Petit ou la regle de la cube de T qui s'appliquent aux systemes cristallisés.


Excusez-moi que je ne sais toujours pas de terms exacts en francais.

Et j'ai encore une impression que quleque chose me manque.


Ciao,

yuba---*

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2009-06-03 14:18:51

statistical mechanics 2

テーマ:statisticalmechanics

La statistical mechanics supporse d'abord que les atomes et molécules s'activent

selon les lois dynamiques et à partir de cela elle conduit aux macro-phénoménes.


En general, plus les chose sont nombreux, plus difficile de resoudre des problèmes/équations dynamiques.

Mais, une fois que le nombre des particles devient très grand, on rencontre une sorte de "retournement", certains problèmes y deviennes faciles de resoudre à cause de l'universalité de l'état d'équilibre.

Enfin c'est ici où le moyen de la statistical mechanics, par exemple, de la probabilicité, est efficace.


Je ne sais pas si je comprends ou non...


Ciao,

yuba---*



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2009-06-02 18:58:19

statistical mechanics

テーマ:statisticalmechanics

Je lis maintenant une introduction à la statistical mechanics(quoi en francais?).

Je m'étonne que des phénoménes dynamiques sont bien exprimés par la statique.

Je ne peux pas encore vraiment croire ca et je pense que l'idee essentielle de statistical mechanics me manque toujours.


Ciao,

yuba---*

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