2005年08月27日

8/27 数学・別解4

テーマ:お勉強(中学&高校)

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前回に引き続き、4つ目の別解をご紹介申しあげる。

【問題】
前回の別解-1
上の図において、二等辺三角形ABCで、
底角∠B,∠Cの二等分線が辺AC,ABと交わる点をそれぞれD,Eとする。
このとき、
EB=DC
であることを証明しなさい。

[別解4]
05-8-27 別解4
BC=a, AB=AC=b とする。
CEは∠ACBの二等分線なので、
三角形における角の二等分線と線分の比との関係から
BC:AC=EB:AE
すなわち a:b=EB:AE・・・・①
また AE=AB-EB=b-EB・・・②
①,②より
a:b=EB:b-EB・・・・・・・③
よって a(b-EB)=bEB
展開して ab-aEB=bEB
EBについてまとめると
ab=(a+b)EB
a+b≠0であるから EB=ab/(a+b)・・④

BDは∠ABCの二等分線なので、前記と同様に
BC:AB=DC:AD
すなわち a:b=DC:AD・・・・⑤
また AD=AC-DC=b-DC・・・⑥
⑤,⑥より
a:b=DC:b-DC
前記の③から④までと同様な変形をおこなうと
DC=ab/(a+b) ・・・・・・・⑦

④,⑦により
EB=DC

この別解は、前回申しあげたように、現行教科書の内容を超える。
しかし、ご紹介したすべての解答の中で最も美しい解答だと小生は思うのでありますが、貴下は如何?

なに? すべて美しくないって?
退場を命じます!

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2005年08月20日

8/20 数学・前回の別解3つ

テーマ:お勉強(中学&高校)

__ 前回の別解-2

【問題】
上の図において、二等辺三角形ABCで、底角∠B,∠Cの二等分線が辺AC,ABと交わる点をそれぞれD,Eとする。
このとき、EB=DC であることを証明しなさい。

[別解1]
BDとCEとの交点をFとする。

(あらすじ:△EBFと△DCFが合同であることを言って、「ゆえにEB=DC」 とキメル。
合同をいうために、△FBCが二等辺三角形になることからFB=FCを使うのがポイントでしょうか。)

△EBFと△DCFで、
△ABCは AB=ACの二等辺三角形だから
∠ABC=∠ACB・・・・①
仮定から
∠EBF=∠ABC/2・・②
∠DCF=∠ACB/2・・③
①,②,③ より
∠EBF=∠DCF・・・・④

ところで、△FBCにおいて、
仮定より
∠FBC=∠EBF・・・・⑤
∠FCB=∠DCF・・・・⑥
④,⑤,⑥ より、
∠FBC=∠FCB
2つの角が等しい三角形はそれらの角を底角とする二等辺三角形であるから、
△FBCは、∠FBCと∠FCBとを底角とする二等辺三角形である。
よって
FB=FC・・・・・・・・⑦

さらに、対頂角であるから
∠EFB=∠DFC・・・・⑧

④,⑦,⑧により
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
(1辺:⑦、その両端の角:④,⑧)
△EBF≡△DCF
ゆえに
EB=DC
(かなりシンドイ。夏むきじゃない!)

[別解2]
前回の別解-1
(あらすじ:まず、△ACEと△ABDが合同であることをいって、AE=ADをみちびく。
つぎに、これとAB=ACとから引き算の式でEBとDCを書けば結論がいえる。)


△ACEと△ABDで、
仮定から
AC=AB・・・・・・・・①

共通な角だから
∠EAC=∠DAB・・・・②

また、仮定から
∠ACE=∠ACB/2・・③
∠ABD=∠ABC/2・・④
△ABCは AB=ACの二等辺三角形だから
∠ACB=∠ABC・・・・⑤
③,④,⑤より
∠ACE=∠ABD・・・・⑥

①,②,⑥により
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ACE≡△ABD
したがって
AE=AD・・・・・・・・⑦

ところで、
EB=AB-AE・・・・・⑧
DC=AC-AD・・・・・⑨
よって①,⑦,⑧,⑨より
EB=DC

[別解3]
前回の別解-3
(あらすじ:ここまでの3つの解答は三角形の合同を利用したが、ここでは円を利用する。 まず、4点D,E,B,Cが同一円周上にあることを言い、つぎに、弧EB,弧DCに対する円周角が等しいことを言って結論をみちびく。)

△ABCは AB=ACの二等辺三角形だから
∠ABC=∠ACB・・・・①
仮定から
∠EBD=∠ABC/2・・②
∠DCE=∠ACB/2・・③
①,②,③ より
∠EBD=∠DCE・・・・④
また、3点D,E,Bを通る円において、点Cは弦EDについて弧EBDと同じ側にある。
このことと④とにより、点Cは弧EBD上にある。
すなわち、4点D,E,B,Cは同一円周上にある。・・@

ところで、
仮定から
∠BCE=∠DCE・・・・⑤
∠CBD=∠EBD・・・・⑥
④,⑤,⑥より
∠BCE=∠CBD・・・・⑦

1つの円において、等しい円周角に対する弧は等しいから
@,⑦より
弧EB=弧DC
1つの円において、等しい弧に対する弦は等しいので
EB=DC

うっかりしていて申しわけないが、この[別解3]は現行教科書-平成13年検定-の内容を超える。
したがって、新課程で学ばれた方は、この解答が思い浮かばなくて当然である。
アシカラズ・・・。

なお、前回、もうひとつ非一般的な解答がある と申しあげたが、それは次回にご紹介させていただくことにする。
あらすじは、三角形における角の二等分線と線分の比との関係を利用するものであって、小生の好みでは5つの解答のうちでもっともビューティフルな解答になると思われるが、これこそ現行教科書を超える。


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2005年08月13日

8/13 数学・結論は使えない

テーマ:お勉強(中学&高校)

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今回は「証明問題」について、ひじょうに基本的なことであるにもかかわらず、よくお間違えになることをご紹介させていただく。

まず、つぎの問題と誤答をご覧いただきたい。
問題は、中2数学の教科書(K社)に載っているものである。

【問題】

結論は・・1
上の図において、二等辺三角形ABCで、底角∠B,∠Cの二等分線が辺AC,ABと交わる点をそれぞれD,Eとする。
このとき、
EB=DC
であることを証明しなさい。
(蛇足だが、「証明」とは、「あることがらが正しいことを、すでに正しいと認められたことがらを根拠にして、すじ道をたてて説明すること」である。)

[誤答]
△EBCと△DCBで、
△ABCは AB=ACの二等辺三角形だから
∠EBC=∠DCB・・・①
また、
BC=CB・・・・・・・②
EB=DC・・・・・・・③
①,②,③より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△EBC≡△DCB
したがって
EB=DC

上記の証明のどこがマチガイだろうか?

賢明なる読者様のお気付きのとおり、証明の過程において、これから証明すべきことがらである
EB=DC
を使っている( ③ )ことである。
「証明すべきことがら」とは、すなわち「結論」である。

「Aさんを殺した犯人はBだ」という結論にいたる理由を説明するのに、
"「AさんはBに恨まれていた」そして「Aさんを殺した犯人はB」なのであるから「Aさんを殺した犯人はBだ」"
というナンセンスなことは、シャーロック・ホームズは決して言わないであろう。

くどいようだが、「証明の過程では、結論は使えない」のである。
しかし、この「証明の過程で結論を使ってしまうマチガイ」はかなり多い。
このマチガイを防ぐために、問題の結論の部分(この問題では EB=DC)を四角い枠(ハート形でもよい)で囲んでいただくことをオススメ申しあげる。


はなしのついでに、解答(正答)を下記させていただく。

[解答]
△EBCと△DCBで、
△ABCは AB=ACの二等辺三角形だから
∠EBC=∠DCB・・・①
また、
BC=CB・・・・・・・②
仮定から
∠ECB=∠ACB/2=∠DCB/2・・③
∠DBC=∠ABC/2=∠EBC/2・・④
①,③,④ より
∠ECB=∠DBC・・・⑤
①,②,⑤ より、
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△EBC≡△DCB
したがって
EB=DC
でゴザル。


ところで、解答はこのほかに3通り(非一般的なものも含めると4通り)ある。
ひとつ(ではなくて3つ)考えてみていただきたいが、如何?

3通りの解答は、次週('05/8/15~21)の弊ブログに掲載させていただく予定である。
(ヒントをご希望でしたら、その旨お申し出ください。希望者様のブログ宛、またはノンブロガー様には弊ブログのコメント欄にて、ヒントを提供させていただきます。)


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2005年08月06日

8/6 数学・「1では?」 と考える

テーマ:お勉強(中学&高校)


%とか歩合などの割合の問題もわりあいわかりにくい(グャギじやお)もののひとつである。

まずは、かんたんな問題をやってみよう。

【問題A】
12,340円の5%はいくらか?

[解説]
5%とは、もとの量(12,340円)の 5/100(または 0.05)だから、
12,340 × 5/100 = 12,340 × 1/20 = 617 (円) ・・・(答)

とおやりになるのは、もちろん大正解なのだが、「 5/100 を掛ける」というアイデアが出てこない場合は、タイトルにあるように、「1では?」すなわち「1%では?」と考えるとよい。

%とは、もとのもの全体を 100% としているから、1%とは、もとのものを 100個に切りきざんだ切れ端のうちの1個なので、もとのものを 100で割ればでてくる。
すなわち 12,340円の1%は
12,340 ÷ 100 (円)
100で割ることは 1/100 をかけることと同じだから、12,340円の1%は
12,340 × 1/100 (円)となる。

そして、5%は1%の5倍だから、これ(12,340 × 1/100)の5倍、つまり5をかければよく、
12,340 × 1/100 × 5 となり、
5 は 5/1 のことだから、
1/100 × 5 = 1/100 × 5/1 = 1×5/100×1 = 5/100

したがって4行上の式(12,340 × 1/100 × 5)は
12,340 × 5/100

となって[解説]のはじめの方にでてきた式に一致する。

これは、パーセントの定義である「ある量の 1/100 を1%という。」(本来の定義文とは異なるかもしれないが意味的には同じなのでご容赦を)にもどって考えているのでもあって、わからなくなったら、あるいは教える側として、このように定義にもどるのもなかなか有効な手段である。
(定義:「概念の内容を限定すること」 ひらたく言えば「ことばの意味を決めている文」ということでしょうか。)

では、つぎの問題をお考えいただきたい。

【問題B】
12,340円の a%はいくらか?

【問題C】
M円の a%はいくらか?

解答は、コメントをご覧ください。



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